Лекции по гидравлике

случае, когда она находилась в покое длительное время. Следовательно,

необходимо различать величину начального статического напряжения сдвига и

динамическую величину этого показателя. Жидкости, которые обладают такими

свойствами, называются тиксотропными. Жидкости, у которых наоборот

динамические характеристики выше, чем начальные называются реопектическими

неньютоновскими жидкостями. Такие явления объясняются тем, что внутренняя

структура таких жидкостей способна упрочняться с течением времени, или (в

другом случае) для восстановления начальных свойств им требуется некоторое

время.

2 .Основы гидростатики 2.1. Силы, действующие в жидкости

Поскольку жидкость обладает свойством текучести и легко деформируется под

действием минимальных сил, то в жидкости не могут действовать

сосредоточенные силы, а возможно существование лишь сил распределённых по

объёму (массе) или по поверхности. В связи с этим действующие на жидкости

распределённые силы являются по отношению к жидкости внешними. По характеру

действия силы можно разделить на две категории: массовые силы и

поверхностные.

Массовые силы пропорциональны массе тела и действуют на каждую жидкую

частицу этой жидкости. К категории массовых сил относятся силы тяжести и

силы инерции переносного движения. Величина массовых сил, отнесённая к

единице массы жидкости, носит название единичной массовой силы. Таким

образом, в данном случае понятие о единичной массовой силе совпадает с

определением ускорения. Если жидкость, находится под действием только сил

тяжести, то единичной силой является ускорение свободного падения:

[pic]

где М' - масса жидкости

Если жидкость находится в сосуде, движущимся с некоторым ускорением а, то

жидкость в сосуде будет обладать таким же ускорением (ускорением

переносного движения):

[pic]

Поверхностные силы равномерно распределены по поверхности и пропорциональны

площади этой поверхности. Эти силы, действуют со стороны соседних объёмов

жидкой среды, твёрдых тел или газовой среды. В общем случае поверхностные

силы имеют две составляющие нормальную и тангенциальную. Единичная

поверхностная сила называется напряжением. Нормальная составляющая

поверхностных сил называется силой давления Р, а напряжение (единичная

сила) называется давлением:

[pic] 5

где: S - площадь поверхности.

Напряжение тангенциальной составляющей поверхностной силы Т (касательное

напряжение[pic]) определяется аналогичным образом (в покоящейся жидкости

Т=0).

[pic]

Величина давления (иногда в литературе называется гидростатическим

давлением) в системе СИ измеряется в паскалях.

[pic]

Поскольку эта величина очень мала, то величину давления принято измерять в

мега-паскалях МПа

1МПа = \ 106 Па.

В употребляемой до сих пор технической системе единиц давление измеряется в

технических атмосферах, am.

С,

1 am = \кГ/см2 = 0,1 МПа, 1 МПа = 10 am.

В технической системе единиц давление кроме технической атмосферы

измеряется также в физических атмосферах, А.

\А = 1,033 am.

Различают давление абсолютное, избыточное и давление вакуума. Абсолютным

давлением называется давление в точке измерения, отсчитанное от нуля. Если

за уровень отсчёта принята величина атмосферного давления, то разница между

абсолютным давлением и атмосферным называется избыточным давлением.

[pic]

Если давление, измеряемое в точке ниже величины атмосферного давления, то

разница между замеренным давлением и атмосферным называется давлением

вакуума

[pic]

Избыточное давление в жидкостях измеряется манометрами. Это весьма обширный

набор измерительных приборов различной конструкции и различного исполнения.

2.2. Свойства гидростатического давления

В неподвижной жидкости возможен лишь один вид напряжения - напряжение

сжатия. Как отмечалось ранее, жидкость в общем случае может находиться под

действием двух сил - силы давления равномерно распределённой по всей

внешней поверхности выделенного жидкого тела и массовых сил, определяемых

характером переносного движения. Под внешней границей жидкого тела могут

пониматься как соседние тела: твёрдые (стенки сосуда или трубы, в которые

помещена жидкость), газообразные (поверхность раздела между жидкостью и

газовой средой), так и условные поверхности, мысленно выделяемые внутри

самой жидкости. Действующее на внешнюю поверхность жидкости давление

обладает двумя основными свойствами: t

1. Давление всегда направлено по внутренней нормали к выделенной

поверхности. Это свойство вытекает из самой сущности давления и

доказательств не требует. Тем не менее, поясним этот постулат простым

примером. Отсечём от жидкого тела часть его объ-

ёма и для сохранения равновесия оставшейся части жидкости приложим к

образовавшемуся сечению систему распределённых сил. По своей величине и

напрвлению действия эти силы должны обеспечить эк[pic] вивалентное влияние

на оставшийся объём жидкости со стороны отсечённой части жидкого тела.

Поскольку в покоящейся

жидкости не могут существовать касательные напряжения, то приложенные к

сечению силы могут быть направлены лишь по внутренней нормали к площади

сечения.

2. В любой точке внутри жидкости давление по всем направлениям одинаково.

Другими словами величина давления в точке не зависит от ориентации

площадки, на которую действует давление.

Для доказательства этого положения выделим в районе произвольно выбранной

точки находящейся внутри жидкости малый отсек жидкости в виде тетраэдра.

Три взаимно перпендикулярные грани отсека будут параллельны координатным

плоскостям, четвёртая грань расположена под произвольным углом (по

отношению к одной из координатных плоскостей). От[pic] бросим массу

жидкости, находящуюся с внешней стороны поверхности тетраэдра, а действие

отброшенной массы жидкости на выделенный отсек заменим силами, которые

обеспечат равновесие в покоящейся жидкости. При такой замене мы сделали

некоторое допущение, ввели сосредоточенные силы, действующие на грани

отсека. Однако это допущение мож- . но считать справедливым ввиду малости

отсека. Тогда для обеспечения равновесия на отсек жидкости должны

действовать силы давления нормальные к граням отсека [pic] ; корме того, на

этот же отсек жидкости будут действовать массовые силы

характер действия которых определяется переносным движением, т.е. движением

сосуда, относительно которого покоится жидкость. Величина массовых сил

будет

пропорциональна массе жидкости в отсеке:[pic]

Запишем уравнение равновесия отсека жидкости в проекциях на оси координат.

[pic]

Выразив силы через напряжения, уравнения равновесия будут иметь следующий

вид:

[pic]

где: [pic]- площадь наклонной грани отсека, [pic]- проекции

ускоре-

ния переносного движения на оси координат.

учитывая, что:[pic]

Уравнения равновесия примут вид:

[pic]

Пренебрегая малыми величинами, получим:[pic]

3. Для жидкости находящейся в состоянии равновесия справедлив так

называемый закон Паскаля утверждающий, что всякое изменение давления в

какой-либо точке жидкости передаётся мгновенно и без изменения во все

остальные точки жидкости.

2.3. Основное уравнение гидростатики

Рассмотрим случай равновесия жидкости в состоянии «абсолютного покоя», т.е.

когда на жидкость действует только сила тяжести. Поскольку объём жидкости в

сосуде мал по сравнению с объёмом Земли, то уровень свободной поверхности

жидкости в сосуде можно считать горизонтальной плоскостью. Давление на

свободную поверхность жидкости равно атмосферному давле[pic] нию р0.

Определим давление р в произвольно выбранной точке М, расположенной на

глубине h. Выделим

около точки М горизонтальную площадку площадью dS . Построим на данной

площадке вертикальное тело, ограниченное снизу самой площадкой, а сверху (в

плоскости свободной поверхности жидкости) её проекцией. Рассмотрим

равновесие полученного жидкого тела. Давление на основание выделенного

объёма будет внешним по отношению к жидкому телу и будет направлено

вертикально вверх. Запишем уравнение равновесия в проекции на вертикальную

ось тела.

[pic]

Сократив все члены уравнения на dS, получим:

[pic]

Давление во всех точках свободной поверхности одинаково и равно р0,

следовательно, давление во всех точках жидкости на глубине h также

одинаково согласно основному уравнения гидростатики. Поверхность, давление

на которой одинаково, называется поверхностью уровня. В данном случае

поверхности уровня являются горизонтальными плоскостями.

Выберем некоторую горизонтальную плоскость сравнения, проходящую на

расстоянии z0 от свободной поверхности, тогда можно записать уравнение

гидростатики в виде:

[pic]

Все члены уравнения имеют линейную размерность и носят название:

- геометричкская высота,

[pic] - пьезометрическая высота

Величина[pic]носит название гидростатического напора.

Основное уравнение гидростатики, доказанное на примере жидкости находящейся

под действием только сил тяжести, будет справедливо и для жидкости, которое

испытывает на себе ускорение переносного движения. Под действием сил

инерции переносного движения будет меняться положение свободной поверхности

жидкости и поверхностей равного давления относительно стенок сосуда и

относительно горизонтальной плоскости. Вид этих поверхностей целиком

зависти от комбинации ускорений переносного движения и ускорения сил

тяжести. В литературе состояние равновесия жидкости при наличии переносного

движения называется относительным покоем жидкости. Любые комбинации

ускорений сводятся к двум возможным видам равновесия жидкости

Равновесие жидкости при равномерно ускоренном прямолинейном движении

сосуда. Примером может быть равновесие жидкости в цистерне, движущейся с

некоторым ускорением а. В этом случае на жидкость будут действовать силы

тяжести [pic] и сила инерции равномерно укоренного движения цистерны[pic].

Тогда равно-

действующая единичная массовая сила определиться как сумма векторов

ускорения переносного движения и ускорения свободного падения.

[pic]

При данных условиях вектор единичной массовой силы переносного движения а

будет направлен в сторону противоположную движению цистерны, ускорение

свободного падения g, как всегда ориентировано вертикально вниз, т.е. как

показано на рисунке. При движении цистерны начальное положение свободной

поверхности жидкости изменится. Новое положение свободной поверхности

жидкости, согласно основному условию равновесия жидкости будет направлена

перпендикулярно вектору[pic], т.к., равнодействующий вектор массовых сил

должен быть направлен по внутренней нормали к свободной поверхности

жидкости. Наклон свободной поверхности жидкости к горизонтальной плоскости

определяется соотношением ускорений[pic]

Выберем некоторую точку М расположенную внутри жидкости на глубине[pic]под

уровнем свободной поверхности (расстояние до свободной поверхности жидкости

измеряется по нормали к этой поверхности). В точке М выделим малую площадку

[pic]параллельную свободной поверхности жидкости. Тогда уравнение

равновесия жидкости запишется в следующем виде:

[pic]

Величину[pic]заменим эквивалентной величиной[pic], где h -погружение точки

М под уровень свободной поверхности жидкости (измеряется по вертикали). Эти

две величины

одинаковы, т.к. [pic]. После этих преобразований уравнение равновесия

жидкости в цистерне примет привычный вид, соответствующий записи основного

закона гидростатики:

[pic]

Таким образом, давление в любой точке жидкости будет зависеть только от

положения этой точки относительно уровня свободной поверхности жидкости.

Поверхности равного давления будут параллельны свободной поверхности

жидкости, и иметь такой же уклон[pic]

Равновесие жидкости в равномерно вращающемся сосуде. Свободная поверхность

жидкости, залитой в цилиндрический сосуд и находящейся под действием сил

тяжести примет форму горизонтальной плоскости на некотором

уровне[pic]относительно дна сосуда. После того как мы приведём сосуд во

вращение вокруг его вертикальной оси с некоторой постоянной угловой

скоростью со = const, начальный уровень свободной поверхности жидкости

изменится: в центре сосуда он понизится, а по краям сосуда повысится. При

этом форма свободной поверхности примет явно вид криволинейной поверхности

вращения. Это явление объясняется тем, что [pic] при вращении сосуда вокруг

своей оси жидкость в нём будет испытывать ускорение переносного

движения[pic] направленное в сторону стенок сосуда. Поскольку

равнодействующая двух сил: силы тяжести и центробежной силы должна быть

направлена по нормали к свободной поверхности жидкости в каждой точке

поверхности, то эта равнодействующая будет иметь, как быль сказано выше,

две составляющие соответственно силу тяжести, направленную вертикально вниз

и центробежную, направленную в горизонтальной плоскости.

[pic]

В каждой точке свободной поверхности жидкости АОВ вектор углового ускорения

[pic] будет направлен под некоторым углом а по отношению к касательной

плоскости, проходящей через данную точку свободной поверхности.

[pic]

Отсюда:

[pic]

В центре на оси вращения, на расстоянии [pic]от дна сосуда будет

расположена

самая низкая точка свободной поверхности жидкости, т.е.[pic]

[pic]

Отсюда: свободная поверхность жидкости находящейся в равномерно вращающемся

вокруг его вертикальной оси сосуде будет иметь вид параболоида вращения

(кривая АОВ-парабола).

Выберем любую точку жидкости на глубине под свободной поверхностью h (в

частности точка находится на дне сосуда), тогда давление в ней будет равно:

[pic]

Этот вывод можно распространить и на более сложные случаи вращения сосуда,

наклоняя ось его вращения под углом к горизонту; результат получим тот же,

что подтверждает универсальность формулы основного уравнения гидростатики.

2.4. Дифференциальное уравнение равновесия жидкости

После рассмотрения некоторых частных случаев равновесия жидкости рассмотрим

общее диф[pic] ференциальное равновесия в самом общем виде. Для этой цели

выделим отсек жидкости малых размеров в виде параллелепипеда. Масса

жидкости в выделенном объёме:

[pic]

На боковые грани параллелепипеда действуют силы давления: (на левую и

правую грани соответственно):[pic]. На переднюю и заднюю грани: [pic], на

нижнюю

и верхнюю грани:[pic]

[pic]

Поскольку давление на правую грань больше, то i[pic]

По аналогии можно записать силы давления на остальные пары граней.

на переднюю [pic], на заднюю [pic], на нижнюю

[pic] , на верхнюю[pic] Проекции массовых сил на координатные оси:

на ось ОХ будет на ось ОУ будет

на ось OZ будет[pic] Тогда сумма сил действующих вдоль оси ОХ:

[pic]

сумма сил действующих вдоль оси 07:

[pic]

сумма сил действующих вдоль оси OZ:

[pic]

где:[pic], проекции ускорения массовых сил на координатные оси.

После преобразования получим систему дифференциальных уравнений равновесия

жидкости:

[pic] i i >

2.5. Сообщающиеся сосуды

В своей практической деятельности человек часто сталкивается с вопросами

равновесия жидкости в сообщающихся сосудах, когда два сосуда А и В

соединены между собой жёстко или гибким шлангом. Сами сосуды (А и В) обычно

называются коленами. Такой гидравлический элемент часто используется в

различных гидравлических машинах (гидравлические прессы и др.), системах

гидропривода и гидроавтоматики, различных измерительных приборах и в ряде

других случаев. С природ[pic] ными сообщающимися сосудами человек

встречается с давних пор: сообщающимися сосудами больших размеров являются

водонасыщенные пласты горных пород с системой колодцев, играющих роль

отдельных колен природной гидродинамической системы.

В открытых сообщающихся сосудах, заполненных однородной жидкостью свободный

уровень жидкости устанавливается на одном и том же уровне в обоих коленах.

Если в коленах сосудов залиты две несмешивающиеся жидкости с различной

плотностью, то свободные уровни жидкости в правом и левом коленах

устанавливаются на разных высотах в зависимости от соотношения плотностей

жидкостей.

Для типичного случая, изображённого на рисунке, запишем уравнение

равновесия жидкости относительно уровня раздела жидкостей.

или:[pic]

В закрытых сообщающихся сосудах давления на свободную поверхность могут

быть шными, тогда уравнение равновесия будет иметь следующий вид:

[pic]

2.6. Сила давления жидкости па плоскую поверхность, погружённую в

жидкость

Согласно основному закону гидростатики величина давления р определяется

глубиной погружения точки под уровень свободной поверхности h жидкости и

величиной

плотности жидкости р.

Для горизонтальной поверхности величина давления одинакова во всех точках

этой поверхности, т.к.:

[pic] Отсюда:[pic]

[pic]

Таким образом, Сила давления жидкости на горизонтальную поверхность (дно

сосуда) равно произведению площади этой поверхности на величину давления на

глубине погружения этой поверхности. На рисунке показан так называемый

«гидравлический парадокс», здесь величины силы давления на дно всех сосудов

одинаковы, независимо от формы стенок сосудов и их физической высоты, т.к.

площади доньев у всех сосудов одинаковы, одинаковы и величины давлений.

Сила давления на наклонную поверхность, погруженную в жидкость.

Практическим примером такой поверхности может служить наклонная стенка

сосуда. Для вывода урав-

нения и вычисления силы давления на стенку выберем следующую систему

координат: ось ОХ направим вдоль пересечения плоскости свободной

поверхности жидкости с наклонной стенкой, а ось OZ направим вдоль этой

стенки перпендикулярно оси ОХ. Тогда в качестве координатной плоскости XOZ

будет выступать сама наклонная стенка. На плоскости стенки выделим малую

площадку[pic], которую, в связи с малыми размерами можем считать

горизонтальной. Величина давления на глубине площадки будет равна:

[pic]

где: h - глубина погружения площадки относительно свободной поверхности

жидкости (по вертикали).

[pic] Сила[pic]давления[pic]dP на площадку:

Для определения силы давления

на всю смоченную часть наклонной стенки (часть площади стенки сосуда,

расположенная ниже уровня свободной поверхности жидкости) необходимо

проинтегрировать это уравнение по всей смоченной части площади стенки S .

[pic]

Интеграл[pic] представляет собой статический момент площади S относительно

оси ОХ. Он, как известно, равен произведению этой площади на координату её

центра тяжести zc. Тогда окончательно:

[pic]

Таким образом, сила давления на наклонную плоскую поверхность, погружённую

в жидкость равна смоченной площади этой поверхности на величину давления в

центре тяжести этой площади. Сила давления на плоскую стенку кроме величины

и направления характеризуется также и точкой приложения этой силы, которая

называется центром давления.

Центр давления силы атмосферного давления p0S будет находиться в центре

тяжести площадки, поскольку атмосферное давление передаётся на все точки

жидкости одинаково. Центр давления самой жидкости на площадку можно

определить исходя из теоремы о моменте равнодействующей силы. Согласно этой

теореме момент равнодействующей

силы относительно оси ОХ будет равен сумме моментов составляющих сил

относительно этой же оси.

[pic]

откуда:[pic]

где:- положение центра избыточного давления на вертикальной оси,

[pic] - момент инерции площадки S относительно оси ОХ.

Отсюда центр давления (точка приложения равнодействующей силы избыточного

давления) расположен всегда ниже центра тяжести площадки. В сучаях, когда

внешнней действующей силой на свободную поверхность жидкости является сила

атмосферного давления, то на стенку сосуда будут одновременно действовать

две одинаковые по величине и противоположные по направлению силы

обусловленные атмосферным давлением (на внутреннюю и внешнюю стороны

стенки). По этой причине реальной действующей несбалансированной силой

остаётся сила избыточного давления.

2.7. Сила давления на криволинейную поверхность, погружённую в жидкость

Выберем внутри покоящейся жидкости криволинейную поверхность ABCD, которая

может быть частью поверхности некоторого тела погруженного в жидкость.

Построим проекции этой поверхности на координатные плоскости. Тогда в

координатной плоскости XOZ проекцией этой поверхности будет плоская

поверхность [pic], в координатной

плоскости YOZ — плоская поверхность[pic] и в плоскости свободной

поверхности

жидкости (координатная плоскость ХОТ) - плоская поверхность [pic]. На

криволи-

нейной поверхности выделим малую площадку dS, проекции которой на

координатные

плоскости будут соответственно [pic] . Сила давления на криволинейную

поверхность dP будет направлена по внутренней нормали к этой поверхности и

может быть представлена в виде:

Горизонтальные составляющие могут быть определены, как силы давления

'[pic]' - на

проекции[pic]малой площадки dS на соот-

ветствующие координатные плоскости:

[pic]

[pic]

Интегрируя эти уравнения, получим (как в случае с давлением на наклонную

поверхность):

[pic]

Вертикальная составляющая силы давления:

^[pic]

Второй интеграл в этом равенстве представляет собой объём образованный

рассматриваемой криволинейной поверхностью ABCD и её проекцией на свободную

поверхность жидкости[pic]. Этот объём принято называть телом давления[pic]

[pic]

Таким образом, горизонтальные составляющие силы давления на криволинейную

поверхность равны давлениям на вертикальные проекции этой поверхности, а

вертикальная составляющая равна весу тела давления, и силе внешнего

давления на горизонтальную проекцию криволинейной поверхности.

Основные уравнения гидростатики широко используются на практике. Примероми

могут служить простейшие гидравлические машины - гидравлический пресс,

построенный по принципу сообщающихся сосудов и гидравлический аккумулятор.

Гидравлический пресс состоит из двух цилиндров приводного (1) и рабочего

(2) со-

единеных между собой трубопроводом и представляет систему сообщающихся

сосудов. В приводном цилиндре перемещается плунжер малого диаметра d, в

рабочем цилиндре находится поршень с большим диаметром D. Связь между

плунжером и рабочим поршнем осуществ[pic] ляется через рабочую жидкость,

заполняющую гидравлическую систему (сообщающиеся сосуды). Усилие F через

рычаг передаются рабочей жидкости.

Сила давления на жидкость под плунжером Р] передаёт жидкости давление р,

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9