Теория организации и системный анализ

на (n - 1) — мы получим дисперсию (меру разброса) случайной величины X1

, т.е. D1. Повторяя эту операцию, мы найдем таким же образом дисперсии всех

наблюдаемых (но уже нормированных) величин.

( Просуммируем произведения соответствующих строк (от j =1 до j = n)

для столбцов 1,2 и также разделим на (n -1). То, что мы теперь получим,

называется ковариацией C12 случайных величин X1 , X2 и служит мерой их

статистической связи.

( Если мы повторим предыдущую процедуру для всех пар столбцов, то в

результате получим еще одну, квадратную матрицу C[k(k], которую принято

называть ковариационной.

Эта матрица имеет на главной диагонали дисперсии случайных величин

Xi, а в качестве остальных элементов — ковариации этих величин ( i =1…k).

Ковариационная матрица C[k(k]

{3-29}

|D1 |C12 |C13 |… |… |C1k |

|C21 |D2 |C23 |… |… |C2k |

|… |… |… |… |… |… |

|Cj1 |Cj2 |… |Cji |… |Cjk |

|… |… |… |… |… |… |

|Cn1 |Cn2 |… |Cni |… |Dk |

Если вспомнить, что связи случайных величин можно описывать не только

ковариациями, но и коэффициентами корреляции, то в соответствие матрице

{3-29} можно поставить матрицу парных коэффициентов корреляции или

корреляционную матрицу

R [k(k]

{3-30}

|1 |R12 |R13 |… |… |R1k |

|R21 |1 |R23 |… |… |R2k |

|… |… |… |… |… |… |

|Rj1 |Rj2 |… |Rji |… |Rjk |

|… |… |… |… |… |… |

|Rn1 |Rn2 |… |Rni |… |1 |

в которой на диагонали находятся 1, а внедиагональные элементы являются

обычными коэффициентами парной корреляции.

Так вот, пусть мы полагали наблюдаемые переменные Ei независящими друг

от друга, т.е. ожидали увидеть матрицу R[k(k] диагональной, с единицами в

главной диагонали и нулями в остальных местах. Если теперь это не так, то

наши догадки о наличии латентных факторов в какой-то мере получили

подтверждение.

Но как убедиться в своей правоте, оценить достоверность нашей гипотезы

— о наличии хотя бы одного латентного фактора, как оценить степень его

влияния на основные (наблюдаемые) переменные? А если, тем более, таких

факторов несколько — то как их проранжировать по степени влияния?

Ответы на такие практические вопросы призван давать факторный анализ. В

его основе лежит все тот же “вездесущий” метод статистического

моделирования (по образному выражению В.В.Налимова — модель вместо теории).

Дальнейший ход анализа при выяснению таких вопросов зависит от того,

какой из матриц мы будем пользоваться. Если матрицей ковариаций C[k(k], то

мы имеем дело с методом главных компонент, если же мы пользуемся только

матрицей R[k(k], то мы используем метод факторного анализа в его “чистом”

виде.

Остается разобраться в главном — что позволяют оба эти метода, в чем их

различие и как ими пользоваться. Назначение обоих методов одно и то же —

установить сам факт наличия латентных переменных (факторов), и если они

обнаружены, то получить количественное описание их влияния на основные

переменные Ei.

Ход рассуждений при выполнении поиска главных компонент заключается в

следующем. Мы предполагаем наличие некоррели-рованных переменных Zj (

j=1…k), каждая из которых представляется нам комбинацией основных

переменных (суммирование по i =1…k):

Zj = ( Aj i (X i

{3-31}

и, кроме того, обладает дисперсией, такой что

D(Z1) ( D(Z2) ( … ( D(Zk).

Поиск коэффициентов Aj i (их называют весом j-й компонеты в содержании

i-й переменной) сводится к решению матричных уравнений и не представляет

особой сложности при использовании компьютерных программ. Но суть метода

весьма интересна и на ней стоит задержаться.

Как известно из векторной алгебры, диагональная матрица [2(2] может

рассматриваться как описание 2-х точек (точнее — вектора) в двумерном

пространстве, а такая же матрица размером [k(k]— как описание k точек k-

мерного пространства.

Так вот, замена реальных, хотя и нормированных переменных Xi на точно

такое же количество переменных Z j означает не что иное, как поворот k

осей многомерного пространства.

“Перебирая” поочередно оси, мы находим вначале ту из них, где дисперсия

вдоль оси наибольшая. Затем делаем пересчет дисперсий для оставшихся k-1

осей и снова находим “ось-чемпион” по дисперсии и т.д.

Образно говоря, мы заглядываем в куб (3-х мерное пространство) по

очереди по трем осям и вначале ищем то направление, где видим наибольший

“туман” (наибольшая дисперсия говорит о наибольшем влиянии чего-то

постороннего); затем “усредняем” картинку по оставшимся двум осям и

сравниваем разброс данных по каждой из них — находим “середнячка” и

“аутсайдера”. Теперь остается решить систему уравнений — в нашем примере

для 9 переменных, чтобы отыскать матрицу коэффициентов (весов) A[k(k].

Если коэффициенты Aj i найдены, то можно вернуться к основным

переменным, поскольку доказано, что они однозначно выражаются в виде

(суммирование по j=1…k)

X i = ( Aji(Z j .

{3-32}

Отыскание матрицы весов A[k(k] требует использования ковариационной

матрицы и корреляционной матрицы.

Таким образом, метод главных компонент отличается прежде все тем, что

дает всегда единственное решение задачи. Правда, трактовка этого решения

своеобразна.

( Мы решаем задачу о наличии ровно стольких факторов, сколько у нас

наблюдаемых переменных, т.е. вопрос о нашем согласии на меньшее число

латентных факторов невозможно поставить;

( В результате решения, теоретически всегда единственного, а

практически связанного с громадными вычислительными трудностями при разных

физических размерностях основных величин, мы получим ответ примерно такого

вида — фактор такой-то (например, привлекательность продавцов при анализе

дневной выручки магазинов) занимает третье место по степени влияния на

основные переменные.

Этот ответ обоснован — дисперсия этого фактора оказалась третьей по

крупности среди всех прочих. Всё… Больше ничего получить в этом случае

нельзя. Другое дело, что этот вывод оказался нам полезным или мы его

игнорируем — это наше право решать, как использовать системный подход!

Несколько иначе осуществляется исследование латентных переменных в

случае применения собственно факторного анализа. Здесь каждая реальная

переменная рассматривается также как линейная комбинация ряда факторов Fj ,

но в несколько необычной форме

X i = ( B ji ( Fj + ( i.

{3-33} причем суммирование

ведется по j=1…m , т.е. по каждому фактору.

Здесь коэффициент Bji принято называть нагрузкой на j-й фактор со

стороны i-й переменной, а последнее слагаемое в {3-33} рассматривать как

помеху, случайное отклонение для Xi. Число факторов m вполне может быть

меньше числа реальных переменных n и ситуации, когда мы хотим оценить

влияние всего одного фактора (ту же вежливость продавцов), здесь вполне

допустимы.

Обратим внимание на само понятие “латентный”, скрытый, непосредственно

не измеримый фактор. Конечно же, нет прибора и нет эталона вежливости,

образованности, выносливости и т.п. Но это не мешает нам самим “измерить”

их — применив соответствующую шкалу для таких признаков, разработав тесты

для оценки таких свойств по этой шкале и применив эти тесты к тем же

продавцам. Так в чем же тогда “ненаблюдаемость”? А в том, что в процессе

эксперимента (обязательно) массового мы не можем непрерывно сравнивать все

эти признаки с эталонами и нам приходится брать предварительные,

усредненные, полученные совсем не в “рабочих” условиях данные.

Можно отойти от экономики и обратиться к спорту. Кто будет спорить, что

результат спортсмена при прыжках в высоту зависит от фактора — “сила

толчковой ноги”. Да, это фактор можно измерить и в обычных физических

единицах (ньютонах или бытовых килограммах), но когда?! Не во время же

прыжка на соревнованиях!

А ведь именно в это, рабочее время фиксируются статистические данные,

накапливается материал для исходной матрицы.

Несколько более сложно объяснить сущность самих процедур факторного

анализа простыми, элементарными понятиями (по мнению некоторых специалистов

в области факторного анализа — вообще невозможно). Поэтому постараемся

разобраться в этом, используя достаточно сложный, но, к счастью,

доведенный в практическом смысле до полного совершенства, аппарат векторной

или матричной алгебры.

До того как станет понятной необходимость в таком аппарате,

рассмотрим так называемую основную теорему факторного анализа. Суть ее

основана на представлении модели факторного анализа {3-33} в матричном

виде

X [k(1] = B [k(m] ( F [m(1] + ( [k(1]

{3-34}

и на последующем доказательстве истинности выражения

R [k(k] = B [k(m] ( B*[m(k],

{3-35}

для “идеального” случая, когда невязки ( пренебрежимо малы.

Здесь B*[m(k] это та же матрица B [k(m], но преобразованная

особым образом (транспонированная).

Трудность задачи отыскания матрицы нагрузок на факторы очевидна — еще в

школьной алгебре указывается на бесчисленное множество решений системы

уравнений, если число уравнений больше числа неизвестных. Грубый подсчет

говорит нам, что нам понадобится найти k(m неизвестных элементов матрицы

нагрузок, в то время как только около k2 / 2 известных коэффициентов

корреляции. Некоторую “помощь” оказывает доказанное в теории факторного

анализа соотношение между данным коэффициентом парной корреляции (например

R12) и набором соответствующих нагрузок факторов:

R12 = B11 ( B21 + B12 ( B22 + … + B1m ( B2m .

{3-36}

Таким образом, нет ничего удивительного в том утверждении, что

факторный анализ (а, значит, и системный анализ в современных условиях) —

больше искусство, чем наука. Здесь менее важно владеть “навыками” и крайне

важно понимать как мощность, так и ограниченные возможности этого метода.

Есть и еще одно обстоятельство, затрудняющее профессиональную

подготовку в области факторного анализа — необходимость быть

профессионалом в “технологическом” плане, в нашем случае это, конечно же,

экономика.

Но, с другой стороны, стать экономистом высокого уровня вряд ли

возможно, не имея хотя бы представлений о возможностях анализировать и

эффективно управлять экономическими системами на базе решений, найденных с

помощью факторного анализа.

Не следует обольщаться вульгарными обещаниями популяризаторов

факторного анализа, не следует верить мифам о его всемогущности и

универсальности. Этот метод “на вершине” только по одному показателю —

своей сложности, как по сущности, так и по сложности практической

реализации даже при “повальном” использовании компьютерных программ. К

примеру, есть утверждения о преимуществах метода главных компонент —

дескать, этот метод точнее расчета нагрузок на факторы. По этому поводу

имеется одна острота известного итальянского статистика Карло Джинни, она в

вольном пересказе звучит примерно так: “ Мне надо ехать в Милан, и я куплю

билет на миланский поезд, хотя поезда на Неаполь ходят точнее и это

подтверждено надежными статистическими данными. Почему? Да потому, что мне

надо в Милан…”.

4 От автора

Выражая благодарность каждому, кто дочитал до этого места или

прослушал все лекции и посетил все семинары, автор считает своим долгом

сделать ряд пояснений, раскрыть свою позицию и свои взгляды на курс “Основы

теории систем и системного анализа”.

( Место курса ТССА в ряду учебных дисциплин специальности “Учет и

аудит” обусловлено прежде всего общим учебным планом, в первую очередь —

разумной дисцпозицией всех дисциплин, с учетом их содержания и отводимого

числа часов. Анализ (разумеется — системный!) общего рабочего плана

специальности показывает, что курс ТССА должен излагаться после курса

“Высшая математика” или, по крайней мере, в том семестре, в котором

излагаются вопросы матричной алгебры. Кроме того, слушатели должны иметь

представления о сути методов математической статистики, элементарных

положениях теории вероятностей и иметь хотя бы начальные навыки обработки

статистических данных. Отсюда второй вывод — данному курсу должно

предшествовать изучение хотя бы введения в математическую статистику (в

объеме не менее 2 час. лекций и 1 часа семинаров в неделю).

( Курс ТССА является теоретической и, главное, методолгической

основой большинства специальных, экономических дисциплин (если, конечно,

они излагаются на уровне современных информационных технологий). Поэтому

данный курс должен читаться до таких дисциплин как “Экономическая

статистика”, “Экономическо-математические методы и модели”, “Эконометрия”,

“Экономический риск” и т.д.

( Несомненна целесообразность связей курса ТССА с такими дисциплинами

как “Компъютерная техника и программирование”, а также

“Информационные системы учета”. Первая из них может считаться необходимой

базой для знакомства слушателей с практикой решения задач системного

анализа на ЭВМ, вторая — может служить естественным продолжением ТССА в

такой специфической области как информатика.

( И, наконец, — о данном материале. Решение о необходимости его

создания было принято кафедрой не только в связи с известными, временными

трудностями только что созданного ВУЗа в вопросах обеспечения учебными и

методическими пособиями. Сыграли роль и предвидимые кафедрой трудности

восприятия курса слушателями, не имеющими “платформы знаний” в области

статистики и необходимых вопросов математики.

Всё это и обусловило столь нестандартный, причудливый подход к

изложению данного курса (1 час лекций в неделю и 1 час семинаров): основные

узловые точки, фундаментальные понятия излагались на лекциях и, затем,

движение по таким же вопросам продолжалось на семинарах, с акцентом на

практических примерах.

( В заключение несколько слов о роли “практических” занятий по

данному курсу. По мнению автора эти занятия могут быть полезны только в

чистом виде “семинара” (группового занятия с коллективным обсуждением

проблем системного анализа), но при этом не занимать половину аудиторного

времени.

Профессор кафедры

информационных систем

и высшей математики ИДА

Г.И.Корнилов

12.12.96

5 Литература

1 Теория систем и системный анализ

Общие вопросы системного анализа

|Методы поиска экстремума |Уайлд Д.Дж. |

|Наука об управлении. Байесовский подход |Моррис У. |

| Введение в минимакс |Демьянов В.Ф., … |

|Целочисленные методы оптимизации |Саати Т. |

|Численные методы оптимизации |Полак Э. |

|Методы оптимизации - вводный курс |Банди Б. |

Системы массового обслуживания

|Элементы теории массового обслуживания |Саати Т.Л. |

|Очереди с приоритетами |Джейсуол Н. |

Экономические системы

|Математическая экономика |Аллен Р. |

|Теория линейных экономических моделей |Гейл Д. |

|Экономическая теория и исследование операций|Баумоль У. |

|Применение математики в экономических |Монография |

|исследованиях |в 3 томах |

|Введение в экономическую кибернетику |Ланге О. |

|Экономико-математические модели |Канторович Л.В. |

|Основы экономической кибернетики |Кобринский Н.Е. |

|Теория игр и экономическое поведение |Нейман Дж., |

| |Моргенштерн О. |

|Математика-управление-экономика |Моисеев Н.Н. |

|Критерии математической статистики в |Головач А.В., … |

|эко-номических исследованиях | |

|Комбинаторные планы в задачах медицины, |Маркова Е.В., |

|финансов и экономики |Лисенков А.Н. |

|Многомерные статист. методы экономики |Болч Б.У., Хуань К.Д. |

|Байесовские методы в эконометрии |Зельнер А. |

|Эконометрия структурных изменений |Пуарье Д. |

2 Общие вопросы математики

Комбинаторика

|Введение в комбинаторный анализ |Риордан Дж. |

|Прикладная комбинаторная математика |Беккенбах Э.(ред.) |

|Комбинаторика |Виленкин Н.Я. |

|Математическое открытие |Пойа Д. |

Теория вероятностей

|Сборник задач по теории вероятностей, |Свешников А.А. |

|математической статистике и случайным | |

|функциям | |

|Вероятность |Мостеллер Ф. |

|Теория вероятностей |Прохоров Ю.В., |

| |Розанов Ю.А. |

Теория игр

|Матричные игры |Воробьев Н.Н.(ред.) |

|Игры и решения |Льюс Р., Райфа Х. |

|Бесконечные антагонистические игры |Воробьев Н.Н. (ред) |

|Стратегические игры |Дрешер М. |

|Математические методы в теории игр, |Карлин С. |

|программировании и экономике | |

|Позиционные игры |Воробьев Н.Н. (ред.) |

|Игровые задачи о встрече движений |Красовский Н.Н. |

|Теория игр |Оуэн Г. |

Математическое программирование

|Линейное программирование |Гасс С. |

| Элементы линейной алгебры и линейного |Карпелевич Ф.И. |

|программирования |Садовский Л.Е. |

|Динамическое программирование и современная|Беллман Р., |

|теория управления |Калаба Р. |

|Геометрическое программирование |Даффин Р. и др. |

3 Математическая статистика

Общие вопросы

|Метод наименьших квадратов |Линник Ю.В. |

|Теория распределений |Кендалл М.,СтьюартА. |

|Математическая статистика | Уилкс С. |

|Основные понятия мат.статистики |Барра Ж.-Р. |

|Математические методы статистики |Крамер Г. |

|Теоретическая статистика |Кокс Д., Хинкли Д. |

Статистическое моделирование

|Статистические модели в инженерных задачах|Хан Г., Шапиро С. |

| Стохастическая аппроксимация |Вазан М. |

|Метод Моте-Карло и смежные вопросы |Ермаков С.М. |

|Статистические методы в имитационном |Клейнен Дж. |

|моделировании | |

Статистические выводы и решения

|Элементарная теория статистических решений |Чернов Г., Мозес Л. |

|Статистические выводы и связи |Кендалл М., |

| |Стьюарт А. |

|Оптимальные статистические решения |Де Гроот М. |

|Теория статистических выводов |Закс Л. |

|Статистическое оценивание |Закс Л. |

|Анализ решений |Райфа Г. |

|Теория полезности для принятия решений |Фишберн П. |

|Проверка значимости |Колкот Э. |

|Введение в теорию статистически ненадежных |Федулов А.А., … |

|решений | |

|Принятие решений при многих критериях |Гафт М.Г. |

|Принятие решений при многих критериях |Кини Р.Л., Райфа Х. |

|Проверка статистических гипотез |Леман Э. |

|Статистические выводы, основанные на |Хеттманспергер Т. |

|рангах | |

|Прикладная теория статистических решений |Райфа Г.,Шлейфер Р. |

|Статистическое оценивание и проверка |Петрович М.Л., |

|гипотез на ЭВМ |Давидович М.И. |

Статистический эксперимент

|Введение в планирование эксперимента |Финни Д. |

|Теория эксперимента |Налимов В.В. |

|Теория оптимального эксперимента |Федоров В.В. |

|Теория инженерного эксперимента |Шенк Х. |

Статистический анализ

|Последовательный анализ |Вальд А. |

|Статистический анализ последовательностей |Кокс Д., |

|событий |Льюис П. |

|Анализ временных рядов: |Бокс Дж., |

|Прогноз и управление |Дженкинс Г. |

|Статистический последовательный анализ |Ширяев А.Н. |

|Многомерный статистический анализ и |Кендалл М., |

|временные ряды |Стьюарт А. |

|Дисперсионный анализ |Шеффе Г. |

|Многомерный дисперсионный анализ |Аренс Х., Лейтер Ю. |

|Нелинейное оценивание параметров |Бард Й. |

|Стохастические модели социальных процессов |Бартоломью Д. |

|Математическая статистика вып.1,2 |Бикел П., Доксам М. |

|Методы анализа данных |Дидэ Э. , … |

|Прикладной регрессионный анализ кн. 1,2 |Дрейпер Н., Смит Г. |

|Факторный анализ |Иберла К. |

|Статический анализ неэкспериментальных |Лимер Э. |

|данных | |

|Анализ данных и регресия вып.1,2 |МостеллерФ.ТьюкиДж |

|Динамическая регрессия: теория и алгоритмы |Песаран М., Слейтер Л. |

|Анализ данных типа времени жизни |Кокс Д.Р., Оукс Д. |

|Факторный анализ с обобщениями |Благуш П. |

Методы непараметрической статистики

|Теория ранговых критериев |Гаек Я., Шидак З. |

|Математические методы в социальных науках |Лазарсфельд П., |

| |Генри Н. |

|Ранговые корреляции |Кэндэл М. |

|Непараметрические методы статистики |Тюрин Ю.Н. |

|Справочник по непараметрической статистике |Рунион Р. |

|Непараметрические методы статистики |Холлендер М., Вулф Д. |

|Многомерное шкалирование |Дейвисон М. |

Вопросы прикладной статистики

|Таблицы математической статистики |Большев Л.Н., |

| |Смирнов Н.В. |

|Теория вероятностей, математическая |Шторм Р. |

|статистика, статистический контроль | |

|Прикладная Статистика: Основы моделирования|Айвазян С.А. и др. |

|и обработка данных | |

|Вычислительные алгоритмы в прикладной |Мэйндоналд Дж. |

|статистике | |

|Справочник по прикладной статистике т.1 |Ллойд Э., Ледерман У. |

|Справочник по прикладной статистике т.2 |Ллойд Э., Ледерман У. |

Экспертные оценки

|Математико-статистические методы |Бешелев С.Д., |

|экспертных оценок |Гурвич Ф.Г. |

|Руководство по экспертным системам |Уотермен Д. |

|Экспертные оценки в педаг. исследованиях |Черепанов В.С. |

Оглавление

1. Особенности системного подхода к решению задач управления 1-2

1.1 Общие понятия теории систем и системного анализа 1-2

1.2 Сущность и принципы системного подхода 1-3

1.3 Проблемы согласования целей 1-5

1.4 Проблемы оценки связей в системе 1-6

1.5 Пример системного подхода к задаче управления 1-8

1.6 Моделирование как метод системного анализа 1-10

1.7 Процессы принятия управляющих решений 1-13

2. Основные понятия математической статистики 2-15

2.1 Случайные события и величины, их основные характеристики 2-15

2.2 Взаимосвязи случайных событий 2-20

2.3 Схемы случайных событий и законы распределений случайных величин 2-

21

2.4 Методы непараметрической статистики 2-24

2.5 Корреляция случайных величин 2-26

2.6 Линейная регрессия 2-29

2.7 Элементы теории статистических решений 2-29

3. Этапы системного анализа 3-31

3.1 Общие положения 3-31

3.2 Содержательная постановка задачи 3-31

3.3 Построение модели изучаемой системы в общем случае 3-32

3.4 Моделирование в условиях определенности 3-33

3.5 Наличие нескольких целей — многокритериальность системы 3-36

3.6 Экспертные оценки, ранговая корреляция и конкордация 3-38

3.7 Моделирование системы в условиях неопределенности 3-42

3.8 Моделирование систем массового обслуживания 3-43

3.9 Моделирование в условиях противодействия, игровые модели 3-46

3.10 Моделирование в условиях противодействия, модели торгов 3-51

3.11 Методы анализа больших систем, планиров. экспериментов 3-56

3.12 Методы анализа больших систем, факторный анализ 3-63

4. От автора 4-71

5. Литература 5-73

5.1 Теория систем и системный анализ 5-73

5.2 Общие вопросы математики 5-73

5.3 Математическая статистика 5-74

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6