Теория организации и системный анализ

уравнений этих законов даст нам математическую модель хотя бы отдельных

элементов или подсистем. Но и в этих, редких, случаях возникают проблемы

не только в плане сложности урав-нений, невозможности их аналитического

решения (расчета по формулам). Дело в том, что в природе трудно обнаружить

примеры “чистого” проявления ее отдельных законов — чаще всего

сопутствующие явление факторы “смазывают” теоретическую картину.

Еще одно важное обстоятельство приходится учитывать при математическом

моделировании. Стремление к простым, элементарным моделям и вызванное этим

игнорирование ряда факторов может сделать модель неадекватной реальному

объекту, грубо говоря — сделать ее неправдивой. Снова таки, без активного

взаимодействия с технологами, специалистами в области законов

функционирования систем данного типа, при системном анализе не обойтись.

В системах экономических, представляющих для вас основной интерес,

приходится прибегать большей частью к математическому моделированию, правда

в специфическом виде — с использованием не только количественных, но и

качественных, а также логических показателей.

Из хорошо себя зарекомендовавших на практике можно упомянуть модели:

межотраслевого баланса; роста; планирования эко-номики; прогностические;

равновесия и ряд других.

Завершая вопрос о моделировании при выполнении системного анализа,

резонно поставить вопрос о соответствии используемых моделей реальности.

Это соответствие или адекватность могут быть очевидными или даже

экспериментально проверенными для отдельных элементов системы. Но уже для

подсистем, а тем более системы в целом существует возможность серьезной

методической ошибки, связанная с объективной невозможность оценить

адекватность модели большой системы на логическом уровне.

Иными словами — в реальных системах вполне возможно логическое

обоснование моделей элементов. Эти модели мы как раз и стремимся

строить минимально достаточными, простыми настолько, насколько это

возможно без потери сущности процессов. Но логически осмыслить

взаимодействие десятков, сотен элементов человек уже не в состоянии. И

именно здесь может “сработать” известное в математике следствие из

знаменитой теоремы Гёделя — в сложной системе, полностью изолированной от

внешнего мира, могут существовать истины, положения, выводы вполне

“допустимые” с позиций самой системы, но не имеющие никакого смысла вне

этой системы.

То есть, можно построить логически безупречную модель реальной системы

с использованием моделей элементов и производить анализ такой модели.

Выводы этого анализа будут справедливы для каждого элемента, но ведь

система — это не простая сумма элементов, и ее свойства не просто сумма

свойств элементов.

Отсюда следует вывод — без учета внешней среды выводы о поведении

системы, полученные на основе моделирования, могут быть вполне

обоснованными при взгляде изнутри системы. Но не исключена и ситуация,

когда эти выводы не имеют никакого отношения к системе — при взгляде на нее

со стороны внешнего мира.

Для пояснения вернемся к рассмотренному ранее примеру. В нем почти все

элементы были построены на вполне оправданных логических постулатах

(допущениях) типа: если студент Иванов получил оценку “знает” по некоторому

предмету, и посетил все занятия по этому предмету, и управление его

обучением было на уровне “Да” — то вероятность получения им оценки

“знает” будет выше, чем при отсутствии хотя бы одного из этих условий.

Но как на основании системного анализа такой модели ответить на

простейший вопрос; каков вклад (хотя бы по шкале “больше-меньше”) каждой

из подсистем в полученные фактические результаты сессии? А если есть

числовые описания этих вкладов, то каково доверие к ним? Ведь управляющие

воздействия на систему обучения часто можно производить только через

семестр или год.

Здесь приходит на помощь особый способ моделирования — метод

статистических испытаний (Монте Карло). Суть этого метода проста —

имитируется достаточно долгая “жизнь” модели, несколько сотен семестров для

нашего примера. При этом моделируются и регистрируются случайно меняющиеся

внешние (входные) воздействия на систему. Для каждой из ситуации по

уравнениям модели просчитываются выходные (системные) показатели. Затем

производится обратный расчет — по заданным выходным показателям

производится расчет входных. Конечно, никаких совпадений мы не должны

ожидать — каждый элемент системы при входе “Да” вовсе не обязательно будет

“Да” на выходе.

Но существующие современные методы математической статистики позволяют

ответить на вопрос — а можно ли и, с каким доверием, использовать данные

моделирования. Если эти показатели доверия для нас достаточны, мы можем

использовать модель для ответа на поставленные выше вопросы.

7 Процессы принятия управляющих решений

Пусть построена модель системы с соблюдением всех принципов системного

подхода, разработаны и “обкатаны” алгоритмы необходимых расчетов,

приготовлены варианты управляющих воздействий на систему. Надо понять, что

эти воздействия не всегда заключаются в изменениях уровня некоторых входных

параметров — это могут быть варианты структурных перестроек системы.

Так вот — все это есть. И что же дальше? Пора и управлять, управлять с

единой целью — повышения эффективности функционирования системы

(однокритериальная задача) или с одновременным достижением нескольких

целей (многокритериальная задача).

Естественно, мы ставим вопрос: “А что будет, если …?” и ожидаем

ответа. Но здесь не следует ожидать чуда, нельзя надеяться на однозначный

ответ. Если к примеру, мы интересуемся вопросом — “к чему приведет

увеличение на 20% закупок цемента?”, то мы должны не удивляться, получив

ответ — “Это приведет к увеличению рентабельности производства кирпича на

величину, которая с вероятностью 95% не будет ниже 6% и не будет выше

14%”. И это еще очень содержательный ответ, могут быть и более

“расплывчатые”!

Здесь уместно в последний раз обратиться к примеру с анализом системы

обучения и ответить на возможный вопрос — а как же были использованы

выводы системного анализа обучения в КГРИ? Ответ одного из соавторов

системного анализа, пишущего эти строки, очень краткий — никак.

Можно теперь открыть еще одну (не последнюю) тайну ТССА. Дело в том,

что судьбу разработок по управлению большими системами должно решать только

ЛПР, и только этот человек (или коллективный орган) решает вопрос

дальнейшей судьбы итогов системного анализа. Важно отметить, что это

правило никак не связано ни с “важностью” конкретной отрасли

промышленности, торговли или образования, ни с политическими

обстоятельствами, ни с государственным строем. Все намного проще —

мудрость отцов-основателей ТССА проявилась, прежде всего, в том, что

неполнота достоверности выводов системного анализа была ими заранее

оговорена.

Поэтому те, кто ведет системный анализ, не должны претендовать на

обязательное использование своих разработок; факты отказа от их

использования не есть показатель непригодности этих разработок.

С другой стороны, те, кто принимают решения, должны столь же четко

понимать, что расплывчатость выводов ТССА есть неизбежность, она может быть

обусловлена не промахами анализа, а самой природой или ошибкой постановки

задачи, например, попытки управлять такой гигантской системой, как

экономика бывшего СССР.

2 Основные понятия математической статистики

1 Случайные события и величины, их основные характеристики

Как уже говорилось, при анализе больших систем наполнителем каналов

связи между элементами, подсистемами и системы в целом могут быть:

( продукция, т. е. реальные, физически ощутимые предметы с заранее

заданным способом их количественного и качественного описания;

( деньги, с единственным способом описания — суммой;

( информация, в виде сообщений о событиях в системе и значениях

описывающих ее поведение величин.

Начнем с того, что обратим внимание на тесную (системную!) связь

показателей продукции и денег с информацией об этих показателях. Если

рассматривать некоторую физическую величину, скажем — количество проданных

за день образцов продукции, то сведения об этой величине после продажи

могут быть получены без проблем и достаточно точно или достоверно. Но,

уже должно быть ясно, что при системном анализе нас куда больше интересует

будущее — а сколько этой продукции будет продано за день? Этот вопрос

совсем не праздный — наша цель управлять, а по образному выражению

“управлять — значит предвидеть”.

Итак, без предварительной информации, знаний о количественных

показателях в системе нам не обойтись. Величины, которые могут

принимать различные значения в зависимости от внешних по отношению к ним

условий, принято называть случайными (стохастичными по природе). Так,

например: пол встреченного нами человека может быть женским или мужским

(дискретная случайная величина); его рост также может быть различным, но

это уже непрерывная случайная величина — с тем или иным количеством

возможных значений (в зависимости от единицы измерения).

Для случайных величин (далее — СВ) приходится использовать особые,

статистические методы их описания. В зависимости от типа самой СВ —

дискретная или непрерывная это делается по разному.

Дискретное описание заключается в том, что указываются все возможные

значения данной величины (например - 7 цветов обычного спектра) и для

каждой из них указывается вероятность или частота наблюдений именного

этого значения при бесконечно большом числе всех наблюдений.

Можно доказать (и это давно сделано), что при увеличении числа

наблюдений в определенных условиях за значениями некоторой дискретной

величины частота повторений данного значения будет все больше приближаться

к некоторому фиксированному значению — которое и есть вероятность этого

значения.

К понятию вероятности значения дискретной СВ можно подойти и иным

путем — через случайные события. Это наиболее простое понятие в теории

вероятностей и математической статистике — событие с вероятностью 0.5

или 50% в 50 случаях из 100 может произойти или не произойти, если же его

вероятность более 0.5 - оно чаще происходит, чем не происходит. События с

вероятностью 1[pic]называют достоверными, а с вероятностью 0 —

невозможными.

Отсюда простое правило: для случайного события X вероятности P(X)

(событие происходит) и P(X) (событие не происходит), в сумме для простого

события дают 1.

Если мы наблюдаем за сложным событием — например, выпадением чисел

1..6 на верхней грани игральной кости, то можно считать, что такое событие

имеет множество исходов и для каждого из них вероятность составляет 1/6

при симметрии кости.

Если же кость несимметрична, то вероятности отдельных чисел будут

разными, но сумма их равна 1.

Стоит только рассматривать итог бросания кости как дискретную

случайную величину и мы придем к понятию распределения вероятностей такой

величины.

Пусть в результате достаточно большого числа наблюдений за игрой с

помощью одной и той же кости мы получили следующие данные:

Таблица 2.1

|Грани |1 |2 |3 |4 |5 |6 |Итого |

|Наблюден|140 |80 |200 |400 |100 |80 | 1000 |

|ия | | | | | | | |

Подобную таблицу наблюдений за СВ часто называют выборочным

распределением, а соответствующую ей картинку (диаграмму) — гистограммой.

Рис. 2.1

[pic]

Какую же информацию несет такая табличка или соответствующая ей

гистограмма?

Прежде всего, всю — так как иногда и таких данных о значениях

случайной величины нет и их приходится либо добывать (эксперимент,

моделирование), либо считать исходы такого сложного события

равновероятными — по [pic] на любой из исходов.

С другой стороны — очень мало, особенно в цифровом, численном описании

СВ. Как, например, ответить на вопрос: — а сколько в среднем мы выигрываем

за одно бросание кости, если выигрыш соответствует выпавшему числу на

грани?

Нетрудно сосчитать:

1(0.140+2(0.080+3(0.200+4(0.400+5(0.100+6(0.080= 3.48

То, что мы вычислили, называется средним значением случайной величины,

если нас интересует прошлое.

Если же мы поставим вопрос иначе — оценить по этим данным наш будущий

выигрыш, то ответ 3.48 принято называть математическим ожиданием

случайной величины, которое в общем случае определяется как

Mx = ( Xi ( P(Xi);

{2 - 1}

где P(Xi) — вероятность того, что X примет свое i-е очередное

значение.

Таким образом, математическое ожидание случайной величины (как

дискретной, так и непрерывной)— это то, к чему стремится ее среднее

значение при достаточно большом числе наблюдений.

Обращаясь к нашему примеру, можно заметить, что кость несимметрична, в

противном случае вероятности составляли бы по 1/6 каждая, а среднее и

математическое ожидание составило бы 3.5.

Поэтому уместен следующий вопрос - а какова степень асимметрии

кости - как ее оценить по итогам наблюдений?

Для этой цели используется специальная величина — мера рассеяния —

так же как мы "усредняли" допустимые значения СВ, можно усреднить ее

отклонения от среднего. Но так как разности (Xi - Mx) всегда будут

компенсировать друг друга, то приходится усреднять не отклонения от

среднего, а квадраты этих отклонений. Величину

[pic] {2 -

2}

принято называть дисперсией случайной величины X.

Вычисление дисперсии намного упрощается, если воспользоваться

выражением

[pic] {2 - 3}

т. е. вычислять дисперсию случайной величины через усредненную

разность квадратов ее значений и квадрат ее среднего значения.

Выполним такое вычисление для случайной величины с распределением рис.

1.

Таблица 2.2

|Грани(X) |1 | | | | | |Итого |

| | |2 |3 |4 |5 |6 | |

| X2 | 1 | | 9| | 25| | |

| | |4 | |16 | |36 | |

| Pi | |0.080 | | | 0.100| 0.080| 1.00 |

| |0.140 | |0.200 |0.400 | | | |

|Pi(X2(1000 | 140 | 320 | 1800| 6400 | 2500| 2880 |14040 |

Таким образом, дисперсия составит 14.04 - (3.48)2 = 1.930.

Заметим, что размерность дисперсии не совпадает с размерностью самой

СВ и это не позволяет оценить величину разброса. Поэтому чаще всего вместо

дисперсии используется квадратный корень из ее значения — т. н.

среднеквадратичное отклонение или отклонение от среднего значения:

[pic]

{2 - 4}

составляющее в нашем случае [pic] = 1.389. Много это или мало?

Сообразим, что в случае наблюдения только одного из возможных значений

(разброса нет) среднее было бы равно именно этому значению, а дисперсия

составила бы 0. И наоборот - если бы все значения наблюдались одинаково

часто (были бы равновероятными), то среднее значение составило бы

(1+2+3+4+5+6) / 6 = 3.500; усредненный квадрат отклонения — (1 + 4 + 9 +

16 + 25 + 36) / 6 =15.167; а дисперсия 15.167-12.25 = 2.917.

Таким образом, наибольшее рассеяние значений СВ имеет место при ее

равновероятном или равномерном распределении.

Отметим, что значения Mx и SX являются размерными и их абсолютные

значения мало что говорят. Поэтому часто для грубой оценки "случайности"

данной СВ используют т. н. коэффициент вариации или отношение корня

квадратного из дисперсии к величине математического ожидания:

Vx = SX/MX .

{2 - 5}

В нашем примере эта величина составит 1.389/3.48=0.399.

Итак, запомним, что неслучайная, детерминированная величина имеет

математическое ожидание равное ей самой, нулевую дисперсию и нулевой

коэффициент вариации, в то время как равномерно распределенная СВ имеет

максимальную дисперсию и максимальный коэффициент вариации.

В ряде ситуаций приходится иметь дело с непрерывно распределенными СВ -

весами, расстояниями и т. п. Для них идея оценки среднего значения

(математического ожидания) и меры рассеяния (дисперсии) остается той же,

что и для дискретных СВ. Приходится только вместо соответствующих сумм

вычислять интегралы. Второе отличие — для непрерывной СВ вопрос о том

какова вероятность принятия нею конкретного значения обычно не имеет смысла

— как проверить, что вес товара составляет точно 242 кг - не больше и не

меньше?

Для всех СВ — дискретных и непрерывно распределенных, имеет очень

большой смысл вопрос о диапазоне значений. В самом деле, иногда знание

вероятности того события, что случайная величина не превзойдет заданный

рубеж, является единственным способом использовать имеющуюся информацию

для системного анализа и системного подхода к управлению. Правило

определения вероятности попадания в диапазон очень просто — надо

просуммировать вероятности отдельных дискретных значений диапазона или

проинтегрировать кривую распределения на этом диапазоне.

2 Взаимосвязи случайных событий

Вернемся теперь к вопросу о случайных событиях. Здесь методически

удобнее рассматривать вначале простые события (может произойти или не

произойти). Вероятность события X будем обозначать P(X) и иметь ввиду,

что вероятность того, что событие не произойдет, составляет

P(X) = 1 - P(X).

{2 - 6}

Самое важное при рассмотрении нескольких случайных событий (тем более

в сложных системах с развитыми связями между элементами и подсистемами) —

это понимание способа определения вероятности одновременного

наступления нескольких событий или, короче, — совмещения событий.

Рассмотрим простейший пример двух событий X и Y, вероятности которых

составляют P(X) и P(Y). Здесь важен лишь один вопрос — это события

независимые или, наоборот взаимозависимые и тогда какова мера связи между

ними? Попробуем разобраться в этом вопросе на основании здравого смысла.

Оценим вначале вероятность одновременного наступления двух независимых

событий. Элементарные рассуждения приведут нас к выводу: если события

независимы, то при 80%-й вероятности X и 20%-й вероятности Y одновременное

их наступление имеет вероятность всего лишь 0.8 ( 0.2 = 0.16 или 16%

.

Итак — вероятность наступления двух независимых событий определяется

произведением их вероятностей:

P(XY) = P(X) [pic]P(Y).

{2 - 7}

Перейдем теперь к событиям зависимым. Будем называть вероятность

события X при условии, что событие Y уже произошло условной вероятностью

P(X/Y), считая при этом P(X) безусловной или полной вероятностью. Столь же

простые рассуждения приводят к так называемой формуле Байеса

P(X/Y)[pic]P(Y) = P(Y/X)[pic]P(X)

{2 - 8}

где слева и справа записано одно и то же — вероятности одновременного

наступления двух "зависимых" или коррелированных событий.

Дополним эту формулу общим выражением безусловной вероятности события

X:

P(X) = P(X/Y)[pic]P(Y) + P(X/Y)[pic]P(Y),

{2 - 9}

означающей, что данное событие X может произойти либо после того как

событие Y произошло, либо после того, как оно не произошло (Y) — третьего

не дано!

Формулы Байеса или т. н. байесовский подход к оценке вероятностных

связей для простых событий и дискретно распределенных СВ играют решающую

роль в теории принятия решений в условиях неопределенности последствий этих

решений или в условиях противо-действия со стороны природы, или других

больших систем (конкуренции). В этих условиях ключевой является стратегия

управления, основанная на прогнозе т. н. апостериорной (послеопытной)

вероятности события

P(X/Y) [pic][pic].

{2 - 10}

Прежде всего, еще раз отметим взаимную связь событий X и Y — если

одно не зависит от другого, то данная формула обращается в тривиальное

тождество. Кстати, это обстоятельство используется при решении задач

оценки тесноты связей — корреляционном анализе. Если же взаимосвязь

событий имеет место, то формула Байеса позволяет вести управление путем

оценки вероятности достижения некоторой цели на основе наблюдений над

процессом функционирования системы — путем перерасчета вариантов

стратегий с учетом изменившихся представлений, т. е. новых значений

вероятностей.

Дело в том, что любая стратегия управления будет строиться на базе

определенных представлений о вероятности событий в системе — и на первых

шагах эти вероятности будут взяты "из головы" или в лучшем случае из опыта

управления другими системами. Но по мере "жизни" системы нельзя упускать

из виду возможность "коррекции" управления - использования всего

накапливаемого опыта.

3 Схемы случайных событий и законы распределений случайных величин

Большую роль в теории и практике системного анализа играют некоторые

стандартные распределения непрерывных и дискретных СВ.

Эти распределения иногда называют "теоретическими", поскольку для них

разработаны методы расчета всех показателей распределения, зафиксированы

связи между ними, построены алгоритмы расчета и т. п.

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6