Теория организации и системный анализ

с другими, аналогичными или близкими по целям своего функционирования. Как

известно, такое взаимодействие называют конкуренцией и ситуации жизни

больших систем-монополистов крайне редки, да и не вызывают особого

интереса с позиций теории систем и системного анализа.

Особый раздел науки — теория игр позволяет хотя бы частично разрешать

затруднения, возникающие при системном анализе в условиях противодействия.

Интересно отметить, что одна из первых монографий по этим вопросам

называлась "Теория игр и экономического поведения" (авторы — Нейман и

Моргенштерн, 1953 г., имеется перевод) и послужила своеобразным

катализатором развития методов линейного программирования и теории

статистических решений.

В качестве простого примера использования методов теории игр в

экономике рассмотрим следующую задачу.

Пусть вы имеете всего три варианта стратегий в условиях конкуренции

S1,S2 и S3 (например — выпускать в течение месяца один из 3 видов

продукции). При этом ваш конкурент имеет всего два варианта стратегий C1 и

C2 (выпускать один из 2 видов своей продукции, в каком то смысле

заменяющей продукцию вашей фирмы). При этом менять вид продукции в течение

месяца невозможно ни вам, ни вашему конкуренту.

Пусть и вам, и вашему конкуренту достоверно известны последствия

каждого из собственных вариантов поведения, описываемые следующей таблицей.

Таблица 3.6

| | C1 | C2 |

| S1 | -2000| + |

| | |2000 |

| S2 | -1000| +3000|

| S3 | +1000| +2000|

Цифры в таблице означают следующее:

( вы несете убытки в 2000 гривен, а конкурент имеет ту же сумму

прибыли, если вы приняли стратегию S1, а конкурент применил C1;

( вы имеете прибыль в 2000 гривен, а конкурент теряет ту же сумму,

если вы приняли S1 против C2;

( вы несете убытки в сумме 1000 гривен, а конкурент получает такую

прибыль, если ваш вариант S2 оказался против его варианта C1 , и так

далее.

Предполагается, что обе стороны имеют профессиональную подготовку в

области ТССА и действуют разумно, соблюдая правила — вариант поведения

принимают один раз на весь месяц, не зная, конечно, что предпринял на этот

же месяц конкурент.

По сути дела, в чисто житейском смысле — это обычная "азартная" игра,

в которой существует конечный результат, цель игры — выигрыш.

Этой цели добивается каждый игрок, но не каждый может ее добиться.

Варианты поведения игроков можно считать ходами, а множество ходов —

рассматривать как партию.

Пусть партия состоит всего лишь из одного хода с каждой стороны.

Попробуем найти этот наилучший ход сначала для вашего конкурента —

порассуждаем за него.

Так как таблица известна как вам, так и конкуренту, то его

рассуждения можно промоделировать.

Вашему конкуренту вариант C2 явно невыгоден — при любом вашем ходе вы

будете в выигрыше, а конкурент в проигрыше. Следовательно, со стороны

вашего противника будет, скорее всего, принят вариант C1, доставляющий ему

минимум потерь.

Теперь можно порассуждать за себя. Вроде бы вариант S2 принесет нам

максимальный выигрыш в 3000 гривен, но это при условии выбора C2 вашим

конкурентом, а он, скорее всего, выберет C1.

Значит наилучшее, что мы можем предпринять — выбрать вариант S3,

рассчитывая на наименьший из возможных выигрышей — в 1000 гривен.

Ознакомимся с рядом общепринятых терминов теории игр:

( поскольку в таблице игры наш возможный выигрыш всегда равен

проигрышу конкурента и наоборот, то эту специфику отображают обычно в

названии — игра с нулевой суммой;

( варианты поведения игроков-конкурентов называют чистыми стратегиями

игры, учитывая независимость их от поведения конкурента;

( наилучшие стратегии для каждого из игроков называют решением игры;

( результат игры, на который рассчитывают оба игрока (1000 гривен

прибыли для вас или столько же в виде проигрыша для конкурента) называют

ценой игры; она в игре с нулевой суммой однакова для обеих сторон;

( таблицу выигрышей (проигрышей) называют матрицей игры, в данном

случае — прямоугольной.

Рассмотренный выше ход рассуждений по поиску наилучшего плана игры в

условиях конкуренции — не единственный способ решения задач. Очень часто

намного короче и, главное, более логически стройным оказывается другой

принцип поиска оптимальных игровых стратегий — принцип минимакса.

Для иллюстрации этого метода рассмотрим предыдущий пример игры с

несколько видоизмененной матрицей.

| | | |

| |C1 |C2 |

| S1 | | - 4000|

| |-2000 | |

| S2 | | +3000 |

| |-1000 | |

| S3 | | +2000 |

| |+1000 | |

Таблица 3.7

Повторим метод рассуждений, использованный для предыдущего примера.

( Мы никогда не выберем стратегию S1, поскольку она при любом ответе

конкурента принесет нам значительные убытки.

( Из двух оставшихся разумнее выбрать S3, так как при любом ответе

конкурента мы получим прибыль.

( Выбираем в качестве оптимальной стратегии S3.

Рассуждения нашего конкурента окажутся примерно такими же по смыслу.

Понимая, что мы никогда не примем S1 и выберем, в конце концов, S3, он

примет решение считать оптимальной для себя стратегию C1 — в этом случае он

будет иметь наименьшие убытки.

Можно применить и иной метод рассуждений, дающий, в конце концов, тот

же результат. При выборе наилучшего плана игры для нас можно рассуждать

так:

( при стратегии S1 минимальный (min) "выигрыш" составит - 4000

гривен;

( при стратегии S2 минимальный (min) "выигрыш" составит - 1000

гривен;

( при стратегии S3 минимальный (min) выигрыш составит + 1000

гривен.

Выходит, что наибольший (max) из наименьших (min) выигрышей — это

1000 гривен и сам бог велел полагать стратегию S3 оптимальной, с надеждой

на ответный ход конкурента его стратегией C1. Такую стратегию и называют

стратегией MaxiMin.

Если теперь попробовать смоделировать поведение конкурента, то для

него:

( при стратегии C1 максимальный (max) проигрыш составит 1000 гривен;

( при стратегии C2 максимальный (max) проигрыш составит 2000 гривен.

Значит, наш конкурент, если он будет рассуждать здраво, выберет

стратегию C1, поскольку именно она обеспечивает наименьший (min) из

наибольших (max) проигрышей. Такую стратегию и называют стратегией MiniMax.

Легко заметить, что это одно и то же — вы делаете ход S3 в расчете на

ответ C1, а ваш конкурент — ход C1 в расчете на S3.

Поэтому такие стратегии называют минимаксными — мы надеемся на

минимум максимальных убытков или, что одно и то же, на максимум минимальной

прибыли.

В двух рассмотренных примерах оптимальные стратегии "противников"

совпадали, принято говорить — они соответствовали седловой точке матрицы

игры.

Метод минимакса отличается от стандартного пути логических

рассуждений таким важным показателем как алгоритмичность. В самом деле,

можно доказать, что если седловая точка существует, то она находится на

пересечении некоторой строки S и некоторого столбца C. Если число в этой

точке самое большое для данной строки и, одновременно, самое малое в данном

столбце, то это и есть седловая точка.

Конечно, далеко не все игры обладают седловой точкой, но если она

есть, то поиск ее при числе строк и столбцов в несколько десятков (а то и

сотен) по стандартному логическому плану — дело практически безнадежное без

использования компьютерных технологий.

Но, даже при использовании компьютера, писать программу для

реализации всех возможных If ... Then придется на специальных языках

программирования (например — язык Prolog). Эти языки велико-лепны для

решения логических задач, но практически непригодны для обычных вычислений.

Если же использовать метод минимакса, то весь алгоритм поиска седловой

точки займет на языке Pascal или C++ не более 5...10 строк программы.

Рассмотрим еще один простой пример игры, но уже без седловой точки.

| | C1| C2|

| |-3000 | +7000 |

|S1 | | |

| | +6000 | +1000 |

|S2 | | |

Таблица 3.8

Задача в этом случае для нас (и для нашего разумного конкурента)

будет заключаться в смене стратегий, в надежде найти такую их комбинацию,

при которой математическое ожидание выигрыша или средний выигрыш за

некоторое число ходов будет максимальным.

Пусть мы приняли решение половину ходов в игре делать с

использованием S1, а другую половину — с S2. Конечно, мы не можем знать,

какую из своих двух стратегий будет применять конкурент, и поэтому придется

рассматривать два крайних случая его поведения.

Если наш конкурент все время будет применять C1, то для нас выигрыш

составит 0.5((-3000)+0.5((+6000) = 1500 гривен.

Если же он все время будет применять C2, то на выигрыш составит

0.5((+7000)+0.5((+1000) = 4000 гривен.

Ну, это уже повод для размышлений, для анализа. В конце концов, можно

прикинуть, а что мы будем иметь в случае применения конкурентом также

смешанной стратегии? Ответ уже готов — мы будем иметь выигрыш не менее

1500 гривен, поскольку выполненные выше расчеты охватили все варианты

смешанных стратегий конкурента.

Поставим вопрос в более общем виде — а существует ли наилучшая

смешанная стратегия (комбинация S1 и S2) для нас в условиях применения

смешанных стратегий (комбинации C1 и C2) со стороны конкурента?

Математическая теория игр позволяет ответить на этот вопрос утвердительно —

оптимальная смешанная стратегия всегда существует, но она может

гарантировать минимум математического ожидания выигрыша. Методы поиска

таких стратегий хорошо разработаны и отражены в литературе.

Таким образом, мы снова оказались в роли ЛПР — системный подход не

может дать рецепта для безусловного получения выигрыша.

Нам и только нам, решать — воспользоваться ли рекомендацией и

применить оптимальную стратегию игры, но при этом считаться с риском

возможного проигрыша (выигрыш окажется гарантированным лишь при очень

большом числе ходов).

Завершим рассмотрение последнего примера демонстрацией поиска

наилучшей смешанной стратегии.

Пусть мы применяем стратегию S1 с частотой (, а стратегию S2 с

частотой (1 - ().

Тогда мы будем иметь выигрыш

W(C1) = ( ( (-3000) + (1-() ( (+6000) = 6000 - 9000((

при применении конкурентом стратегии C1

или будем иметь выигрыш

W(C2) = ( ( (+7000) + (1-() ( (+1000) = 1000 + 6000((

при применении конкурентом стратегии C2.

Теория игр позволяет найти наилучшую стратегию для нас из условия

W(C1) = W(C2);

{3 - 16}

что приводит к наилучшему значению (=1/3 и математическому ожиданию

выигрыша величиной в (-3000)((1/3)+(+6000)((2/3)=3000 гривен.

10 Моделирование в условиях противодействия, модели торгов

К этому классу относятся задачи анализа систем с противодействием

(конкуренцией), также игровых по сути, но с одной особенностью — "правила

игры" не постоянны в одном единственном пункте — цены за то, что продается.

При небольшом числе участников торгов вполне пригодны описанные выше

приемы теории игр, но когда число участников велико и, что еще хуже,

заранее неизвестно, — приходится использовать несколько иные методы

моделирования ситуаций в торгах.

Наиболее часто встречаются два вида торгов:

( закрытые торги, в которых два или более участников независимо друг

от друга предлагают цены (ставки) за тот или иной объект; при этом участник

имеет право лишь на одну ставку, а ведущий торги принимает высшую (или

низшую) из предложенных;

( открытые торги или аукционы, когда два или более участников

подымают цены до тех пор, пока новой надбавки уже не предлагается.

Рассмотрим вначале простейший пример закрытых торгов. Пусть мы (A) и

наш конкурент (B) участвуем в закрытых торгах по двум объектам суммарной

стоимости C1 + C2.

Мы располагаем свободной суммой S и нам известно, что точно такой

же суммой располагает наш конкурент. При этом S< C1 + C2, то есть купить

оба объекта без торгов не удастся.

Мы должны назначить свои цены A1, A2 за первый и второй объекты в

тайне от конкурента, который предложит за них же свои цены B1, B2. После

оглашения цен объект достанется предложившему большую цену, а если они

совпали — по жребию. Предположим, что и мы и наш конкурент владеем

методом выбора наилучшей стратегии (имеем соответствующее образование).

Так вот — можно доказать, что при равных свободных суммах с нашей и с

противоположной стороны существует одна, оптимальная для обеих сторон

стратегия назначения цен.

Сущность ее (скажем, для нас) определяется из следующих рассуждений.

Если нам удастся купить первый объект, то наш доход составит (C1 - A1) или

же, при покупке второго, мы будем иметь доход (C2 - A2). Значит,

в среднем мы можем ожидать прибыль

d = 0.5((C1 + C2 — A1 — A2) = 0.5((C1 + C2 — S). {3 - 17}

Таким образом, нам выгоднее всего назначить цены

A1 = C1 — d = 0.5 ( (C1 — C2 + S);

A2 = C2 — d = 0.5 ( (C2 — C1 + S). {3 -

18}

Если же одна из них по расчету окажется отрицательной — выставим ее

нулевой и вложим все деньги в цену за другой объект.

Но и наш конкурент, имея ту же свободную сумму и рассуждая точно так

же, назначит за объекты точно такие же цены. Как говорится, боевая ничья!

Ну, если конкурент не владеет профессиональными

знаниями? Что ж, тем хуже для него — мы будем иметь доход больше, чем

конкурент.

Конкретный пример. Сумма свободных средств составляет по 10000 гривен

у каждого, цена первого объекта равна 7500, второго 10000 гривен.

Назначим цену за первый объект в 0.5((7500-10000+10000)=3750 гривен,

а за второй 0.5((10000-7500+10000) = 6250 гривен.

Наш доход при выигрыше первого или второго объекта составит 3750

гривен. Такой же доход ожидает и конкурента, если он выбрал такую же,

оптимальную стратегию. Но, если он так не поступил и назначил цену за

первый объект 3500, а за второй 6000 гривен (пытаясь сэкономить!), то в

таком случае мы можем выиграть торги по двум объектам сразу и будем иметь

доход уже в 7500 гривен — приобретая имущество общей стоимостью в 17500 за

цену в 10000 гривен!

Конечно, если стартовые суммы участников торгов неодинаковы, число

объектов велико и велико число участников, то задача поиска оптимальной

стратегии становится более сложной, но все же имеет аналитическое решение.

Рассмотрим теперь второй вид задачи — об открытых торгах (аукционах).

Пусть все те же два объекта (с теми же стоимостями) продаются с аукциона, в

котором участвуем мы и наш конкурент.

В отличие от первой задачи свободные суммы различны и составляют SA и

SB , причем каждая из них меньше (C1 + C2) и, кроме того, отношение

нашей суммы к сумме конкурента более 0.5, но менее 2.

Пусть мы знаем "толщину кошелька" конкурента и, поскольку ищем

оптимальную стратегию для себя, нам безразлично — знает ли он то же о наших

финансовых возможностях.

Задача наша заключается в том, что мы должны знать — когда надо

прекратить подымать цену за первый объект. Эту задачу не решить, если мы не

определим цель своего участия в аукционе (системный подход, напомним,

требует этого).

Здесь возможны варианты:

( мы хотим иметь максимальный доход;

( мы стремимся минимизировать доход конкурента;

( мы желаем максимизировать разницу в доходах — свой побольше, а

конкурента поменьше.

Наиболее интересен третий вариант ситуации — найти нашу стратегию,

обеспечивающую

DA — DB = Max.

{3-19}

Поскольку объектов всего два, то все решается в процессе торгов за

первый объект. Будем рассматривать свой ход в ответ на очередное

предложение цены X за этот объект со стороны конкурента.

Мы можем использовать две стратегии поступить двумя способами:

( стремиться уступить первый объект конкуренту — за наибольшую цену,

надеясь купить второй;

( стремиться купить первый объект — за минимальную цену, уступив

конкуренту второй.

Пусть конкурент назначил за первый объект очередную сумму X. Если мы

не добавим небольшую сумму (минимальную надбавку (), то первый объект

достанется конкуренту. При этом у конкурента в запасе останется сумма

SB - X. Доход конкурента составит при этом (без учета () DB = С1

- X.

Мы наверняка купим второй объект, если у нас в кармане

SA = (SB - X) + (, то есть немного больше, чем осталось у конкурента.

Значит, мы будем иметь доход DA = C2 - (SB - X) и разность доходов

в этом случае составит

DA - DB = C2 - C1 - SB + 2(X .

{3-20}

Ясно, что эта разность будет положительна только тогда, когда мы

уступим первый объект за цену

X > [pic],

{3-21}

но никак не меньше.

( Будем повышать цену за первый объект до суммы X+ ( с целью купить

его.

Наш доход составит при этом

DA = C1 - (X + ().

Второй объект достанется конкуренту за сумму

SA - (X + () + (,

так как ему придется поднять цену за этот объект до уровня,

чуть большего остатка денег у нас.

Доход конкурента составит

DB = C2 - (SA - (X + () + (),

а разность доходов составит (без учета ()

DA - DB = (C1 - X) - (C2 - SA + X) = С1 - С2 + SA - 2X .

{3-22}

Эта разность будет положительна при условии

X < [pic] ,

{3-23}

Мы нашли две "контрольные" суммы для того, чтобы знать — когда надо

пользоваться одной из двух доступных нам стратегий — выражения {3-21} и {3-

23}. Среднее этих величин составит

K = [pic] + [pic]

{3-24}

и определяет разумную границу для смены стратегий нашего участия в аукционе

с целью одновременно получить доход себе побольше, а конкуренту — поменьше.

Интересно сосчитать свой доход и разность доходов на этой границе.

( Если мы уступили первый объект на этой границе, то по {3-20}

DA - DB = C2 - C1 - SB + 2K = 0.5(SA - SB).

( Если же мы купили первый объект на этой границе, то по {3-22}

DA - DB = С1 - С2 + SA - 2K = 0.5(SA - SB).

Для удобства сопровождения числовыми данными зададимся свободными

суммами и ценами объектов (по нашему представлению об этих объектах): SA=

100 < 175; SB = 110 < 175; C1 = 75; C2 = 100;

0.5 < (SA/ SB < 2 и примем разрешенную надбавку к цене равной 1.

В этом конкретном случае граница "сражения" за первый объект проходит

через сумму

K = [pic] + [pic] = -12.5 + 52.5 = 40 $

Если наш конкурент считает, что объекты для него стоят столько же (он

знает нашу свободную сумму, а мы знаем его свободную сумму, но другой

информации мы и он не обладаем), то он вычислит эту же границу и мы будем

довольствоваться разностью доходов не в свою пользу: DA - DB = С1 - С2 +

SA - 2K = 0.5(SA - SB) = -5.

Что делать — у конкурента больший стартовый капитал.

Но, возможно, наш конкурент (играя за себя) будет считать стоимости

объектов совсем иными и для него граница будет совсем другой. Или же — цель

конкурента в данном аукционе совершенно не такая как наша, что также

обусловит другую граничную сумму участия в торгах за первый объект. Иными

словами — оптимальная стратегия для конкурента нам совершенно неизвестна.

Тогда все зависит от того, на какой сумме он "отдаст" нам первый

объект или, наоборот, до какой границы он будет "сражаться" за него .

Следующая таблица иллюстрирует этот вывод.

Таблица 3.9

|Граница | Владелец |Доход DA |Доход DB|Разность |

|1 торга за | | | |DA - DB |

|объект |1 объекта | | | |

|20 |A | 55 |20 |35 |

|30 |A | 45 |30 | 10 |

|35 |A | 40 |35 |5 |

|40 |A | 35 |40 |-5 |

|40 |B | 25 |35 |-5 |

|45 |B | 35 |30 |5 |

|50 |B | 40 |25 |15 |

|55 |B | 45 |20 |25 |

|60 |B | 50 |15 |40 |

|75 |B | 75 |0 |75 |

Заканчивая вопрос об открытых торгах — аукционах, отметим, что в

реальных условиях задача моделирования и выбора оптимальной стратегии

поведения оказывается весьма сложной.

Дело не только в том, число объектов может быть намного больше двух,

а что касается числа участников, то оно также может быть большим и даже не

всегда известным заранее. Это приведет к чисто количественным трудностям

при моделировании "вручную", но не играет особой роли при использовании

компьютерных программ моделирования.

Дело в другом — большей частью ситуация усложняется

неопределенностью, стохастичностью поведения наших конкурентов. Что ж,

прийдется иметь дело не с самими величинами (заказываемыми ценами, доходами

и т. д.), а с их математическими ожиданиями, вычисленными по вероятностным

моделям, или со средними значениями, найденными по итогам наблюдений или

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6