Лекции по ТОЭ

|или |

|[pic], |

|(2) |

| |

|где [pic]; [pic]- внутренняя проводимость источника. |

|Уравнению (2) соответствует схема замещения источника на рис. 6,а. |

|[pic] |

|На этой схеме символом J обозначен элемент, называемый идеальным источником тока. Ток|

|в ветви с этим элементом равен [pic]и не зависит от напряжения на зажимах источника, |

|следовательно, ему соответствует ВАХ на рис. 6,б. На этом основании с учетом (2) у |

|такого источника [pic], т.е. его внутреннее сопротивление [pic]. |

|Отметим, что в расчетном плане при выполнении условия [pic]последовательная и |

|параллельная схемы замещения источника являются эквивалентными. Однако в |

|энергетическом отношении они различны, поскольку в режиме холостого хода для |

|последовательной схемы замещения мощность равна нулю, а для параллельной – нет. |

|Кроме отмеченных режимов функционирования источника, на практике важное значение |

|имеет согласованный режим работы, при котором нагрузкой RН от источника потребляется |

|максимальная мощность |

|[pic], |

|(3) |

| |

|Условие такого режима |

|[pic], |

|(4) |

| |

|В заключение отметим, что в соответствии с ВАХ на рис. 5,б и 6,б идеальные источники |

|ЭДС и тока являются источниками бесконечно большой мощности. |

|Литература |

|Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, |

|С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с. |

|Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для |

|студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей |

|вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с. |

|Теоретические основы электротехники. Учеб. для вузов. В трех т. Под общ. ред. |

|К.М.Поливанова. Т.1. К.М.Поливанов. Линейные электрические цепи с сосредоточенными |

|постоянными. –М.: Энергия, 1972. –240 с. |

|Каплянский А.Е. и др. Теоретические основы электротехники. Изд. 2-е. Учеб. пособие |

|для электротехнических и энергетических специальностей вузов. –М.: Высш. шк., 1972. |

|–448 с. |

|Контрольные вопросы и задачи |

|Может ли внешняя характеристик источника проходить через начало координат? |

|Какой режим (холостой ход или короткое замыкание) является аварийным для источника |

|тока? |

|В чем заключаются эквивалентность и различие последовательной и параллельной схем |

|замещения источника? |

|Определить индуктивность L и энергию магнитного поля WМкатушки, если при токе в ней |

|I=20А потокосцепление ? =2 Вб. |

|Ответ: L=0,1 Гн; WМ=40 Дж. |

|Определить емкость С и энергию электрического поля WЭконденсатора, если при |

|напряжении на его обкладках U=400 В заряд конденсатора q=0,2Ч 10-3 Кл. |

|Ответ: С=0,5 мкФ; WЭ=0,04 Дж. |

|У генератора постоянного тока при токе в нагрузке I1=50Анапряжение на зажимах U1=210 |

|В,а притоке, равном I2=100А, оно снижается до U2=190 В. |

|Определить параметры последовательной схемы замещения источника и ток короткого |

|замыкания. |

|Ответ: [pic] |

|Вывести соотношения (3) и (4) и определить максимальную мощность, отдаваемую |

|нагрузке, по условиям предыдущей задачи. |

|Ответ: [pic] |

|Теория / ТОЭ / Лекция N 2. Топология электрической цепи. |

|Электрическая цепь характеризуется совокупностью элементов, из которых она состоит, и|

|способом их соединения. Соединение элементов электрической цепи наглядно отображается|

|ее схемой. Рассмотрим для примера две электрические схемы (рис. 1, 2), введя понятие |

|ветви и узла. |

|[pic] |

|Рис.1 |

|Рис.2 |

| |

|Ветвью называется участок цепи, обтекаемый одним и тем же током. |

|Узел – место соединения трех и более ветвей. |

|Представленные схемы различны и по форме, и по назначению, но каждая из указанных |

|цепей содержит по 6 ветвей и 4 узла, одинаково соединенных. Таким образом, в смысле |

|геометрии (топологии) соединений ветвей данные схемы идентичны. |

|Топологические (геометрические) свойства электрической цепи не зависят от типа и |

|свойств элементов, из которых состоит ветвь. Поэтому целесообразно каждую ветвь схемы|

|электрической цепи изобразить отрезком линии. Если каждую ветвь схем на рис. 1 и 2 |

|заменить отрезком линии, получается геометрическая фигура, показанная на рис. 3. |

|Условное изображение схемы, в котором каждая ветвь заменяется отрезком линии, |

|называется графом электрической цепи. При этом следует помнить, что ветви могут |

|состоять из каких-либо элементов, в свою очередь соединенных различным образом. |

|Отрезок линии, соответствующий ветви схемы, называется ветвью графа. Граничные точки |

|ветви графа называют узлами графа. Ветвям графа может быть дана определенная |

|ориентация, указанная стрелкой. Граф, у которого все ветви ориентированы, называется |

|ориентированным. |

|Подграфом графа называется часть графа, т.е. это может быть одна ветвь или один |

|изолированный узел графа, а также любое множество ветвей и узлов, содержащихся в |

|графе. |

|В теории электрических цепей важное значение имеют следующие подграфы: |

|1. Путь – это упорядоченная последовательность ветвей, в которой каждые две соседние |

|ветви имеют общий узел, причем любая ветвь и любой узел встречаются на этом пути |

|только один раз. Например, в схеме на рис. 3 ветви 2-6-5; 4-5; 3-6-4; 1 образуют пути|

|между одной и той же парой узлов 1 и 3. Таким образом, путь – это совокупность |

|ветвей, проходимых непрерывно. |

|2. Контур – замкнутый путь, в котором один из узлов является начальным и конечным |

|узлом пути. Например, для графа по рис. 3 можно определить контуры, образованные |

|ветвями 2-4-6; 3-5-6; 2-3-5-4. Если между любой парой узлов графа существует связь, |

|то граф называют связным. |

|3. Дерево – это связный подграф, содержащий все узлы графа, но ни одного контура. |

|Примерами деревьев для графа на рис. 3 могут служить фигуры на рис. 4. |

|[pic] |

|Рис.4 |

|4. Ветви связи (дополнения дерева) – это ветви графа, дополняющие дерево до исходного|

|графа. |

|Если граф содержит m узлов и n ветвей, то число ветвей любого дерева [pic], а числа |

|ветвей связи графа [pic]. |

|5. Сечение графа – множество ветвей, удаление которых делит граф на два изолированных|

|подграфа, один из которых, в частности, может быть отдельным узлом. |

|Сечение можно наглядно изобразить в виде следа некоторой замкнутой поверхности, |

|рассекающей соответствующие ветви. Примерами таких поверхностей являются для нашего |

|графа на рис. 3 S1 иS2 . При этом получаем соответственно сечения, образованные |

|ветвями 6-4-5 и 6-2-1-5. |

|С понятием дерева связаны понятия главных контуров и сечений: |

|главный контур – контур, состоящий из ветвей дерева и только одной ветви связи; |

|главное сечение – сечение, состоящее из ветвей связи и только одной ветви дерева. |

|Топологические матрицы |

|Задать вычислительной машине топологию цепи рисунком затруднительно, так как не |

|существует эффективных программ распознавания образа. Поэтому топологию цепи вводят в|

|ЭВМ в виде матриц, которые называют топологическими матрицами. Выделяют три таких |

|матрицы: узловую матрицу, контурную матрицу и матрицу сечений. |

|1. Узловая матрица (матрица соединений) – это таблица коэффициентов уравнений, |

|составленных по первому закону Кирхгофа. Строки этой матрицы соответствуют узлам, а |

|столбцы – ветвям схемы. |

|Для графа на рис. 3 имеем число узлов m=4 и число ветвей n=6. Тогда запишем матрицу |

|АН , принимая, что элемент матрицы [pic](i –номер строки; j –номер столбца) равен 1, |

|если ветвь j соединена с узлом i и ориентирована от него, -1, если ориентирована к |

|нему, и 0, если ветвь j не соединена с узломi . Сориентировав ветви графа на рис. 3, |

|получим |

| |

| |

| [pic] |

| |

|[pic] |

|[pic] |

|[pic] |

| |

|.Данная матрица АН записана для всех четырех узлов и называется неопределенной. |

|Следует указать, что сумма элементов столбцов матрицы АН всегда равна нулю, так как |

|каждый столбец содержит один элемент +1 и один элемент -1, остальные нули. |

|Обычно при расчетах один (любой) заземляют. Тогда приходим к узловой матрице А |

|(редуцированной матрице), которая может быть получена из матрицы АН путем |

|вычеркивания любой ее строки. Например, при вычеркивании строки “4” получим |

| |

| |

| [pic] |

| |

|[pic] |

|[pic] |

|[pic] |

| |

|.Число строк матрицы А равно числу независимых уравнений для узлов [pic], т.е. числу |

|уравнений, записываемых для электрической схемы по первому закону Кирхгофа. Итак, |

|введя понятие узловой матрицы А, перейдем к первому закону Кирхгофа. |

|Первый закон Кирхгофа |

|Обычно первый закон Кирхгофа записывается для узлов схемы, но, строго говоря, он |

|справедлив не только для узлов, но и для любой замкнутой поверхности, т.е. |

|справедливо соотношение |

|[pic] |

|(1) |

| |

|где [pic]- вектор плотности тока; [pic]- нормаль к участку dS замкнутой поверхности |

|S. |

|Первый закон Кирхгофа справедлив и для любого сечения. В частности, для сечения S2 |

|графа на рис. 3, считая, что нумерация и направления токов в ветвях соответствуют |

|нумерации и выбранной ориентации ветвей графа, можно записать |

|[pic]. |

|Поскольку в частном случае ветви сечения сходятся в узле, то первый закон Кирхгофа |

|справедлив и для него. Пока будем применять первый закон Кирхгофа для узлов, что |

|математически можно записать, как: |

|[pic] |

|(2) |

| |

|т.е. алгебраическая сумма токов ветвей, соединенных в узел, равна нулю. |

|При этом при расчетах уравнения по первому закону Кирхгофа записываются для (m-1) |

|узлов, так как при записи уравнений для всех m узлов одно (любое) из них будет |

|линейно зависимым от других, т.е. не дает дополнительной информации. |

|Введем столбцовую матрицу токов ветвей |

|I= |

|[pic] |

| |

|Тогда первый закон Кирхгофа в матричной форме записи имеет вид: |

|АI=O |

|(3) |

| |

|– где O - нулевая матрица-столбец. Как видим, в качестве узловой взята матрица А, а |

|не АН, т.к. с учетом вышесказанного уравнения по первому закону Кирхгофа записываются|

|для (m-1) узлов. |

|В качестве примера запишем для схемы на рис. 3 |

|[pic] |

|[pic] |

| |

|Отсюда для первого узла получаем |

|[pic], |

|что и должно иметь место. |

|2. Контурная матрица (матрица контуров) – это таблица коэффициентов уравнений, |

|составленных по второму закону Кирхгофа. Строки контурной матрицы Всоответствуют |

|контурам, а столбцы – ветвям схемы. |

|Элемент bij матрицы В равен 1, если ветвь j входит в контур i и ее ориентация |

|совпадает с направлением обхода контура, -1, если не совпадает с направлением обхода |

|контура, и 0, если ветвьj не входит в контурi. |

|Матрицу В, записанную для главных контуров, называют матрицей главных контуров. При |

|этом за направление обхода контура принимают направление ветви связи этого контура. |

|Выделив в нашем примере (см. рис. 5) дерево, образуемое ветвями 2-1-4, запишем |

|коэффициенты для матрицы В. |

| |

| |

|[pic] |

| |

|[pic] |

|[pic] |

|[pic] |

| |

| |

|. |

|Перейдем теперь ко второму закону Кирхгофа. |

|Под напряжением на некотором участке электрической цепи понимается разность |

|потенциалов между крайними точками этого участка, т.е. |

|[pic] |

|(4) |

| |

|Просуммируем напряжения на ветвях некоторого контура: |

|[pic] |

|Поскольку при обходе контура потенциал каждой i-ой точки встречается два раза, причем|

|один раз с “+”, а второй – с “-”, то в целом сумма равна нулю. |

|Таким образом, второй закон Кирхгофа математически записывается, как: |

|[pic] |

|(5) |

| |

|- и имеет место следующую формулировку: алгебраическая сумма напряжений на зажимах |

|ветвей (элементов) контура равна нулю. При этом при расчете цепей с использованием |

|законов Кирхгофа записывается [pic]независимых уравнений по второму закону Кирхгофа, |

|т.е. уравнений, записываемых для контуров, каждый из которых отличается от других |

|хотя бы одной ветвью. Значение топологического понятия “дерева”: дерево позволяет |

|образовать независимые контуры и сечения и, следовательно, формировать независимые |

|уравнения по законам Кирхгофа. Таким образом, с учетом (m-1) уравнений, составленных |

|по первому закону Кирхгофа, получаем систему из [pic]уравнений, что равно числу |

|ветвей схемы и, следовательно, токи в них находятся однозначно. |

|Введем столбцовую матрицу напряжений ветвей |

|U= |

|[pic] |

| |

|Тогда второй закон Кирхгофа в матричной форме записи имеет вид |

|BU = 0. |

|(6) |

| |

|В качестве примера для схемы рис. 5 имеем |

|[pic], |

|откуда, например, для первого контура получаем |

|[pic], |

|что и должно иметь место. |

|Если ввести столбцовую матрицу узловых потенциалов |

|= |

|[pic] |

| |

|причем потенциал последнего узла [pic], то матрица напряжений ветвей и узловых |

|потенциалов связаны соотношением |

|U=AТ[pic] |

|(7) |

| |

|где AТ - транспонированная узловая матрица. |

|Для определения матрицы В по известной матрице А=АДАС , где АД – подматрица, |

|соответствующая ветвям некоторого дерева, АС- подматрица, соответствующая ветвям |

Страницы: 1, 2, 3, 4