Концепция современного естествознания

[pic] Здесь k(((m((2(((коэффициент пропорциональности между

приложенной силой и вызываемым ею смещением. Для упругих

систем он называется жесткостью или коэффициентом упругости,

для других систем, подчиняющихся этому же уравнению -

коэффициентом квазиупругости. Таким образом, гармонические

колебания совершаются силой, пропорциональной отклонению тела

от положения равновесия и направленной к положению равновесия.

Коэффициент k определяет собственную частоту и период

колебаний: [pic]

Упругие и квазиупругие силы всегда являются центральными,

так как зависят только величины смещения тела. Следовательно,

эти силы являются консервативными. Для них оказывается

возможным ввести потенциальную энергию, которая равна

потенциальной энергии упругой (квазиупругой) деформации.

[pic]. Запишем выражение для кинетической энергии

колеблющегося тела.

[pic]

Обратим внимание на то, что оба вида энергии изменяются в

пределах от нуля до максимального значения, причем

максимальные значения кинетической и потенциальной энергий

тела одинаковы. Кинетическая и потенциальная энергия меняются

в противофазе. В моменты времени, когда тело проходит

положение равновесия, вся его энергия определяется

кинетической энергией. В моменты времени, когда амплитуда тела

становится максимальной, его энергия определяется

потенциальной энергией. Полная механическая энергия равна:

[pic]

Полная механическая энергия, как и следовало ожидать,

оказалась постоянной.

Кроме консервативных сил, в реальной системе могут

действовать и неконсервативные силы, например силы трения. При

их наличии механическая энергия системы переходит во

внутреннюю энергию, т.е. идет на нагрев тела. Полная

механическая энергия в этом случае не сохраняется, она убывает

со временем. Значит, должна уменьшатся и амплитуда колебаний

системы A. Если силы трения прямо пропорциональны скорости

тела Fтр(b(( (вязкое трение), амплитуда колебаний A(t)

зависит от времени следующим образом:

[pic].

Амплитуда колебаний убывает по экспоненте, параметры

которой определяются начальной скоростью и силами трения.

Получившиеся колебания называются затухающими. Отметим, что

затухающие колебания протекают медленнее, чем колебания в той

же системе без трения. Их частота немного меньше, а период,

соответственно, немного больше.

[pic].

Рис.18.1 Рис.18.2

Для того, чтобы амплитуда колебаний не уменьшалась под

вследствие потерь энергии, в систему необходимо добавлять

энергию извне. Добавляемая энергия должна компенсировать

потери. Существуют разные способы передачи энергии в систему.

Чаще всего в технике инициируют так называемые вынужденные

колебания. Вынужденные колебания возникают под действием

внешней периодической силы с частотой (. Эта частота может не

совпадать с частотой собственных (() или затухающих ((()

колебаний. Колебания начинаются сразу на двух частотах:

вынужденные на частоте ( и затухающие на частоте ((.

Затухающие колебания быстро затухают, и остаются только

незатухающие вынужденные колебания. Амплитуда вынужденных

колебаний является функцией частоты вынуждающей силы (. Эта

зависимость приведена на рис.18.2 для систем с большим (1) и

малым трением (2). Если частота вынуждающих колебаний - (

близка к частоте собственных колебаний системы - (, то

наступает так называемое явление резонанса. При резонансе

амплитуда колебаний системы максимальна.

Если потери, вызванные силами трения, достаточно малы, то

амплитуда колебаний может стать такой большой, что система

может даже разрушится. Известен случай разрушения моста под

действием ветра, вызвавшего сильные колебания. В авиации

известен термин, называемый флаттером, когда амплитуда

колебаний деталей самолетов становится настолько большой, что

самолеты разрушаются в воздухе.

Существуют и другие способы передачи энергии системе для

осуществления периодических незатухающих колебаний. В

простейшем случае, который имеет место в механических часах,

энергия механической пружины периодически с частотой 1 Гц

подводится к маятнику.

Интересен случай возбуждения незатухающих колебаний в

системе, с помощью энергии, подводимой непрерывно. Примером

возникновения таких колебаний - автоколебаний могут служить

трубы органов и других музыкальных инструмент иов. Поток

воздуха проходит с постоянной скоростью через органную трубу и

передает ей энергию, за счет которой труба издает звуки

определенной тональности. Как можно в этом случае объяснить

процесс возникновения периодических колебаний? Автоколебания

возможны только тогда, когда энергия, передаваемая системе

нелинейно зависит от какого-то параметра, например от скорости

системы. В разные моменты времени скорость стенок трубы, с

которой соприкасается поток воздуха, различна. И поток воздуха

с разной силой «трется» о стенки, т.е. передает ей разную

энергию. Колебания стенок трубы описываются обычными

уравнениями колебаний (18.1-18.3) Следовательно, энергия,

передаваемая потоком воздуха органной трубе также будет

меняться по закону гармонического колебания. В конечном счете

процесс передачи энергии от потока воздуха к стенкам трубы

также будет носить периодический характер. Период этого

процесса определяется собственными частотами колебаний трубы.

Имеет место явление резонанса, при котором амплитуда колебаний

становится очень большой при сравнительно небольших затратах

энергии. Именно этим явлением объясняется «флаттер» и

разрушение моста сильным потоком воздуха.

18.2 Распространение колебаний, звуковые и

электромагнитные волны.

Упругой называется среда, которая может сопротивляться

деформации. Возьмем, например, металлическую линейку. Закрепим

один ее конец, а на второй подействуем с некоторой силой. Для

того, чтобы согнуть линейку требуется прикладывать силу,

которая уравновешивается силами, действующими со стороны

соседних участков линейки. Через некоторое время после

прекращения действия внешней силы линейка разогнется и

перейдет в прямое состояние. Это пример действия упругих сил в

твердых телах. В газах также существуют упругие силы. Возьмем

поршень в цилиндре и попытаемся сжать газ в цилиндре. Упругие

силы, возникающие из-за избыточного давления газа, будут

стремиться вернуть поршень в положение равновесия. Жидкости

тоже являются упругими средами, в них тоже возникают упругие

силы.

Отличие упругих сил в твердых телах от упругих сил в

жидкостях и газах, заключаются в том, что, в твердых телах

упругие силы действуют во всех направлениях, независимо от

того, куда мы стремимся приложить силу. В газах упругие силы

возникают только тогда когда мы стремимся изменить

первоначальный объем газа. Другими словами, твердое тело

сопротивляется изменению своего объема и своей формы, а

жидкости и газы - только изменению объема.

Если заставить колебаться участок упругой среды, то под

действием упругих сил эти колебания будут передаваться

соседним участкам среды. Процесс распространения колебаний в

упругой среде называют волнами. В общем случае волна - это

процесс распространения колебаний какого-то параметра

(смещения атомов в теле, давления в газах, напряженности

электрического поля или еще чего-нибудь) в пространстве. В

жидкостях и газах колебания могут быть направлены только вдоль

направления распространения волны. Такие волны называются

продольными.

В твердых телах колебания могут совершатся как вдоль

направления распространения волны, так и поперек. Волны, у

которых колебание совершается перпендикулярно направлению

распространения называются поперечными. Примером продольных

волн в газах является звук. Примером поперечных волн являются

электромагнитные волны, у которых колеблются напряженности

электрических и магнитных полей.

Рассмотрим процесс возникновения волн и найдем уравнение,

описывающее волну. В качестве модели возьмем длинную натянутую

струну или веревку. В исходном состоянии она неподвижна. В

начальный момент времени t0 начнем колебать в поперечном

направлении незакрепленный конец веревки. Пусть некоторую

точку смещают из положения равновесия и отпускают. Точка

начинает колебаться по гармоническому закону [pic] (рис.18.3).

Через некоторое время точка отойдет от положения максимального

отклонения и станет перемещаться к положению равновесия. Через

четверть периода колебаний точка достигнет его, минует и

станет двигаться дальше к максимальному отклонению (max(А,

равному амплитуде. Спустя некоторое время все тоже самое

случится с соседней точкой. С течением времени колебание может

распространиться на всю веревку. Каждая точка веревки (если

пренебречь затуханием, т.е. силами сопротивления) будет

колебаться по закону [pic]. Фаза колебания каждого участка

[pic] веревки будет своя. По веревке будет распространяться

колебание, т.е. возникнет так называемая бегущая волна.

Введем параметры, характеризующие волну. Минимальное

расстояние между двумя участками веревки, колеблющимися в

одинаковой фазе назовем длиной волны (, см.рис.18.3. Участки

веревки с постоянной фазой колебания перемещаются слева

направо. Скорость перемещения постоянной фазы колебания

называют фазовой скоростью - (. За время, равное одному

периоду колебаний(((T, волна поробегает расстояние, равное ее

длине((((.

[pic].

Поверхность, все точки которой колеблются в одинаковой

фазе, называется волновой поверхностью. Геометрическое место

точек, которых достигло возмущение от источника называется

волновым фронтом. Эти понятия очень похожи, но не

тождественны. Волновой фронт перемещается со скоростью волны,

а волновые поверхности неподвижны лишь в один момент времени

они совпадают друг с другом. Если, например, колонна машин

едет по дороге, то первую машину можно уподобить волновому

фронту, а встречающиеся на пути километровые столбы - волновым

поверхностям. Пусть волна распространяется из точки О вдоль

оси (oz). Найдем фазу волны в произвольной точке z

(см.рис.18.4).

Рис.18.3 Рис.18.4

Колебание волны в точке z можно представить в виде:

[pic], где t’ - время запаздывания колебаний в точке z по

сравнению с колебаниями в точке О. За это время волновой фронт

проходит расстояние от начала отсчета до точки z. Это время

равно [pic]. С учутом [pic] имеем:

[pic]Здесь k - волновое число, которое показывает сколько длин

волн ( укладывается на отрезке, длиной 2(.

Полученное выражение называется уравнением бегущей волны.

Оно определяет колебание волны в каждой точке пространства,

являясь функцией координаты z и времени t.

Часто, кроме круговой частоты колебаний ((2(/T используют

циклическую частоту ((1/T. Частота измеряется в Герцах, 1 Гц -

это 1 колебание в секунду. В общем случае вместо смещения

точки среды из положения равновесия можно ввести любой

“колеблющийся” параметр. Для звуковых волн таким параметром

является давление газа в данной точке пространства. Звуковые

волны - продольные волны и физически сводятся к процессу

распространения в газе колебаний давления. Эти колебания

обычно создают путем колебаний мембраны перпендикулярно ее

плоскости. Возникающие перепады давления и представляют собой

звуковую волну. Область частот, которые слышит человеческое

ухо лежит в диапазоне 20-20000 Гц.

Другим чрезвычайно важным видом волн являются

электромагнитные волны. Электромагнитные волны могут возникать

и распространятся в пустом пространстве, т.е. в вакууме. Из

уравнений Максвелла следует, что переменное магнитное поле

создает вокруг себя в пространстве переменное электрическое

поле. В свою очередь, переменное электрическое поле создает

вокруг себя в пространстве переменное магнитное поле. Этот

процесс приводит к появлению в пространстве некоторой волны -

электромагнитной волны. Эта волна является поперечной.

Напряженности электрического и магнитного полей волны

перпендикулярны друг другу и направлению распространения

волны. На рис.18.5 показаны напряженности электрического и

магнитного полей в бегущей волне.

Рис.18.5

Особенностью электромагнитных волн является то, что для их

распространения не требуется никакой среды. Переменные

электромагнитные поля могут распространяться в вакууме.

Для количественного описания волн вводят два понятия:

интенсивность волны и объемную плотность энергии волны.

Интенсивность волны - это средняя по времени энергия,

переносимая волнами через единичную площадь, параллельную

волновому фронту, за единицу времени. Объемная плотность

энергии - это энергия волн, приходящаяся на единицу объема.

Волна - это процесс распространения колебаний в пространстве

(в упругой среде , как это имеет место для звуковых волн, или

в вакууме, как это имеет место для электромагнитных волн).

Энергия колебаний определяется амплитудой и частотой. Она

пропорциональна квадрату амплитуды колебаний. В системе СИ

интенсивность волны выражается в Вт/м2.

Без вывода приведем выражения для интенсивности и скорости

звуковой и электромагнитной волн. Для звуковой волны:

[pic] где А - амплитуда

колебаний среды, ( - частота, (, (//, (( - скорость волны,

продольной и поперечной, ( - плотность среды, в которой

распространяется звуковая волна, ( - коффициент Юнга, G -

коэффициент сдвига.

Распространение звука в упругой среде связано с объемной

деформацией. Поэтому давление в каждой точке среды непрерывно

колеблется с частотой ( вокруг некоторого среднего значения.

Давление, вызванное звуковой деформацией среды называется

звуковым давлением.

Наше ухо воспринимает звуковые давления неодинаково на

разных частотах. Область частот ,которые воспринимает ухо

лежит в диапазоне 20 - 20000 Гц. Наибольшей чувствительностью

ухо обладает в диапазоне частот около 1000 Гц. На этих

частотах ухо способно воспринимать звуки, звуковое давление в

которых отличается на 7 порядков.

Для интенсивности электромагнитной волны справедливо:

[pic], где Eо и Hо амплитуды напряженности

электрического и магнитного полей, ( и ( диэлектрическая и

магнитная проницаемости среды, (о и (о диэлектрическая и

магнитная проницаемости вакуума - постоянные, введенные в

системе СИ. Скорость распространения электромагнитных волн в

среде равна

[pic], В вакууме [pic], поэтому скорость

электромагнитной волны в вакууме будет равна

[pic].

Как видно, она расна скорости света в вакууме - с, что не

удивительно, поскольку свет является электромагнитными

волнами.

18.3 Волновые явления: поляризация, интерференция,

дифракция и дисперсия.

Распространение волн в пространстве и их взаимодействие со

средой приводит к появлению целого класса явлений, которых нет

при механическом движении тел. Рассмотрим основные из них для

звуковых и электромагнитных волн.

В поперечных волнах (к которым относятся электромагнитные)

колебания происходят перпендикулярно направлению

распространения волны. Эти колебания могут быть как

упорядоченными, так и неупорядоченными. Например, колебания

могут происходить только в одном выделенном направлении.

Волны, у которых колебания совершаются в одной плоскости,

называются плоско поляризованными.

В каждой точке пространства волна представляет собой

колебание с определенной начальной фазой. Два колебания в

выбранной точке пространства складываются друг с другом.

Ограничимся случаем, когда складываются волны с одинаковыми

частотами. Если складываются два колебания в одинаковой фазе,

то амплитуда результирующего колебания максимальна и равна

сумме амплитуд. Если же складываются два колебания в

противофазе, то результирующая амплитуда будет минимальна и

равна модулю разности амплитуд этих колебаний. При

произвольной разности фаз складывающихся колебаний амплитуда

результирующего колебания может меняться от нуля до максимума.

Если, например, складываются два колебания с одинаковыми

амплитудами и одинаковыми фазами, то результирующая амплитуда

удвоится, а интенсивность возрастет в четыре раза. Если же

колебания с равными амплитудами сложатся в противофазе, то

колебания полностью погасят друг друга, и интенсивность

результирующего колебания окажется равной нулю. Интенсивность

двух складывающихся волн не равна сумме их интенсивностей.

Явление стационарного во времени увеличения интенсивности

волн в одних точках пространства и уменьшения в других

называется интерференцией. Еще раз подчеркнем, что для

наблюдения интерференции необходимо, чтобы частоты колебаний

были одинаковыми. Такие волны называются когерентными.

Наряду с плоскими волнами, которые мы рассматривали до сих

пор, существуют и другие типы волн, например, сферические или

цилиндрические. Напомним, что тип волны или форма волновой

поверхности определяется формой источника и законом его

колебания. Сферический источник, как правило, создает

сферические волны. Такие волны не имеют выделенного

направления и распространяются во всех направлениях одинаково.

Если в среде нет неконсервативных сил, то амплитуда колебаний

таких волн убывает обратно пропорционально расстоянию, а

интенсивность, соответственно, обратно пропорционально

квадрату расстояния.

Введение сферических волн необходимо для понимания еще

одного чисто волнового явления - дифракции. Под дифракцией

понимают огибание волнами препятствия и их захождение в

область геометрической тени. Представим себе следующую

ситуацию. У нас есть закрытая комната в одной из стен которой

есть окно. Напротив стены с окном стоит стрелок и стреляет в

него. Естественно, если пули не рикошетят, все они попадут в

стенку за окном и никогда не достигнут боковых стен. Если мы

рассматриваем движение материальных тел, то эти тела (в

отсутствие силовых воздействий) в соответствии с первым

законом Ньютона двигаются прямолинейно. Если на их пути

встречаются препятствия, тела не огибают их.

По иному ведут себя волны. Волна есть процесс

распространения колебаний в пространстве. Если в какой-то

точке упругой среды возникнут колебания, то они за счет

упругости среды передадутся в окрестные точки, т.е. возникнет

сферическая волна. Как будет распространяться в пространстве

волна с произвольным фронтом? Ответ на этот вопрос дал в 17-м

веке Х.Гюйгенс (1629-1695), сформулировав принцип, названный

его именем. Гюйгенс предложил считать каждую точку фронта

волны источником сферических волн. За время [pic]t сферические

волны распространятся на некоторое расстояние. Новым фронтом

волны через время [pic]t будет огибающая этих сферических

фронтов.

Рассмотрим два примера, иллюстрирующих принцип Гюйгенса.

На рис.18.5 показано прохождение плоской волны через отверстие

небольшого размера, соизмеримого с длиной волны. Слева на

отверстие падает плоская волна. Какой она станет после

прохождения отверстия? Разобьем отверстие на зоны размерами

порядка длины волны. Каждая такая зона может рассматриваться

как источник сферических волн. Пусть за время [pic]t

сферическая волна распространится на расстояние [pic]r, как

это показано на рисунке. Огибающая сферических волн уже не

будет плоской волной. Продолжим этот процесс. Если взять

достаточно большой промежуток времени t, т.е. рассматривать

волновые поверхности на большом по сравнению с размерами

отверстия расстоянии, то прошедшая через него плоская волна

превратится в сферическую волну. Волна за отверстием будет

распространятся во все стороны, в том числе и в область

геометрической тени.

Рис.18.5

Рассмотрим другой пример, иллюстрирующий принцип Гюйгенса.

Пусть плоская волна падает на границу раздела сред (1) и (2),

как это показано на рис.18.6. Угол падения обозначим через (1.

Скорость распространения волны в первой среде равна (1, во

второй (2. Найдем, под каким углом (2 будет распространятся

волна во второй среде.

В соответствии с принципом Гюйгенса каждую точку на

границе двух сред мы можем считать источником вторичных

сферических волн. Система симметрична и нам достаточно взять

две точки А и В, которые ограничивают фронт падающей волны.

Проведем из точки А прямую, перпендикулярную направлению

распространения фронта волны AC. Эта прямая совпадает с

фронтом волны в момент времени t.

V

V В

С

D

А

1

2

Рис. 18.6

Точка С фронта волны достигнет точки B в момент времени

tо. Время t- to =CB/V =AB sin( y 1 )/V1 . За время t - to

из точки А распространится сферическая волна с радиусом AD

= (t -to ) V. Фронт волны во второй среде будет проходить

через точку В и будет касателен к сфере радиусом АD. Любая

точка отрезка АВ может рассматриваться как источник вторичных

сферических волн. За время t - t они распространятся в

среде 2 на некоторые расстояния. Касательные к окружностям

этих точек и дадут прямую ВD. Во второй среде также

распространяется плоская волна.

Поскольку AD = AB sin =V(t - t ) с одной стороны и

с другой стороны АВ sin =V ( t - t ) , приравнивая

АВ из этих уравнений и сокращая на (t - t ), получаем

уравнение преломления волн на границе двух сред:

[pic].

Скорость распространения световых волн в среде (

определяется коэффициентом преломления n этой среды и

скоростью света в вакууме с:

[pic].

Подставив это соотношение в уравнение (18.18), получим

закон преломления света:

[pic].

Закон преломления света был сформулирован в трудах

Архимеда около двух с половиной тысяч лет назад. Наряду с

законом прямолинейного распространения света и законом

невзаимодействия световых волн, он является одним из основных

законов оптики. Подавляющее большинство расчетов оптических

систем (очков, биноклей, фотоаппаратов и т.д.) базируется на

этих законах.

Значение показателя преломления n можно найти

воспользовавшись уравнениями (18.16) и (18.17).

[pic].

В этой формуле ( и ( ( диэлектрическая и магнитная

проницаемости среды, соответственно. Поскольку, для всех

оптически прозрачных сред ((((1 (с точностью до трех знаков

после запятой), справедливо выражение: [pic].

В заключение раздела рассмотрим явление дисперсии.

Проявление его известно с незапамятных времен. Все мы

наблюдали радугу в небе после дождя, любовались игрой света в

драгоценных камнях. Все эти эффекты связаны с явлением

дисперсии. Под явлением дисперсии понимают зависимость

скорости распространения волн или коэффициента преломления

среды от длины волны или частоты колебаний.

Рассмотрим опыт Ньютона по наблюдении дисперсии света (см.

рис. 18.7). Он направлял параллельный пучок белого света на

стеклянную призму П и наблюдал его прохождение на стоящем

вдали экране Э. Призма преломляет пучок света , но по разному

для разных длин волн, и на экране Э наблюдается не одно

белое пятно, а спектр, включающий все цвета радуги от синего

до красного.

На гранях призмы в соответствии с законом преломления свет

преломляется. Коэффициент преломления стекла n различен для

разных длин волн, т.е. n(((n((). Показатель преломления для

синего света больше, чем для красного, поэтому, в соответствии

с законом преломления (18.20) синий свет преломляется сильнее,

чем красный.

П

Э

К

С

Рис.18.7.

Кроме красного и синего цветов в естественном свете

присутствуют все остальные цвета, и коэффициенты преломления

для каждого из них различны. Каждый из этих лучей будет

преломляться на разный угол. На экране будут наблюдаться все

цвета радуги, переходящие друг в друга от красного до

фиолетового.

Этот же эффект мы наблюдается при прохождении света через

грани отшлифованного алмаза - бриллианта. Природный алмаз

имеет очень высокую дисперсию и большое значение коэффициента

преломления n(((2,4. Именно поэтому белый свет, преломляясь

на гранях алмаза, хорошо разделяется на все цвета радуги.

В заключение подчеркнем еще раз основное отличие движения

волн от движения материальных тел. Волна - это не материальное

тело, а процесс распространения колебаний в пространстве. Она

не локализована в какой-либо точке пространства и обладает

бесконечным числом степеней свободы. Волна может обладать

характеристиками, не имеющими аналогов для материальных тел,

например, поляризацией. Прохождение волн в среде или

пространстве сопровождается явлениями, отсутствующими при

движении материальных тел: интерференцией, дифракцией,

дисперсией.

Страницы: 1, 2, 3