Статистика

Разновидностью относительной величины интенсивности является

показатель уровня экономического развития, характеризующий производство

продукции на душу населения. Например, производство мяса на душу населения

=(производство мяса за период, кг)/(среднегодовая численность населения за

период).

Относительная величина сравнения представляет собой соотношение

одноименных абсолютных показателей по разным объектам (предприятиям,

районам, областям, странам и т.д.). Он может быть выражен как в

коэффициентах, так и в процентах.

Тренировочные задания.

1. Имеются следующие данные по здравоохранению РТ на конец года:

|Показатели |1994 г. |1995 г. |

| | | |

|Численность наличного |3754,8 |3760,5 |

|населения, тыс. чел. | | |

| | | |

|Численность врачей всех |15,6 |15,7 |

|специальностей, тыс. чел. | | |

| | | |

| | | |

|Число больничных коек, |46,6 |46,3 |

|тыс. | | |

Проведите анализ изменения обеспеченности населения врачами и

количеством больничных коек, используя относительные величины интенсивности

в продецимилле.

2. По нижеприведенным показателям определите недостающие данные:

|Вид продукции |План тыс. |Фактически |Процент выполнения|

| |руб. |тыс. руб. |плана |

|Пальто зимнее жен. |65 |73 |? |

|Пальто демисезонные жен. |? |55 |106 |

|Плащи жен. |105 |? |110 |

|Итого |? |? |? |

Тест.

1. Могут ли абсолютные статистические величины иметь сложные единицы

измерения?

А) могут;

Б) не могут;

2. К какому типу единиц относятся "часы"?

А) к натуральным;

Б) к трудовым;

3. Относительный показатель выполнения плана производства продукции на

предприятии составил 103%, при этом объем производства продукции по

сравнению с предшествующим периодом вырос на 2%. Что

предусматривалось планом?

А) рост объема производства;

Б) снижение объема производства;

4. Может ли относительный показатель интенсивности быть выражен

коэффициентом?

А) да;

Б) нет;

5. Может ли относительный показатель сравнения быть именованной

величиной?

А) может, если исходные абсолютные показатели выражены в условно-

натуральных единицах измерения;

Б) не может;

6. Может ли сумма относительных показателей структуры, рассчитанных по

одной совокупности быть равной единице?

А) может, если она характеризуется долей;

Б) не может;

7. К какому виду относительных величин относится коэффициент

рождаемости (число родившихся на 1000 человек населения)?

А) к относительным величинам структуры;

Б) к относительным величинам координации;

В) к относительным величинам интенсивности;

4. Средние величины.

Сущность средних величин.

Статистика, как известно, изучает массовые социально-экономические

явления. Каждое из этих явлений может иметь различное количественное

выражение одного и того же признака. Например, заработная плата одной и той

же профессии рабочих или цены на рынке на один и тот же товар и т.д.

Для изучения какой-либо совокупности по варьирующим (количественно

изменяющимся) признакам статистика использует средние величины.

Средняя величина - это обобщающая количественная характеристика

совокупности однотипных явлений по одному варьирующему признаку. Важнейшее

свойство средней величины заключается в том, что она представляет значение

определенного признака во всей совокупности одним числом, несмотря на

количественные различия его у отдельных единиц совокупности, и выражает то

общее, что присуще всем единицам изучаемой совокупности. Таким образом,

через характеристику единицы совокупности она характеризует всю

совокупность в целом.

Средние величины связаны с законом больших чисел. Суть этой связи

заключается в том, что при осреднении случайные отклонения индивидуальных

величин в силу действия закона больших чисел взаимопогашаются и в средней

выявляется основная тенденция развития, необходимость, закономерность

однако, для этого среднюю необходимо вычислять на основе обобщения массы

фактов.

Средние величины позволяют сравнивать показатели, относящиеся к

совокупностям с различной численностью единиц.

Важнейшим условием научного использования средних величин в

статистическом анализе общественных явлений является однородность

совокупности, для которой исчисляется средняя. Одинаковая по форме и

технике вычисления средняя в одних условиях (для неоднородной

совокупности) фиктивная, а в других (для однородной совокупности)

соответствует действительности. Качественная однородность совокупности

определяется на основе всестороннего теоретического анализа сущности

явления. Так, например, при исчислении средней урожайности требуется, чтобы

исходные данные относились к одной и той же культуре (средняя урожайность

пшеницы) или группе культур (средняя урожайность зерновых). Нельзя

вычислять среднюю для разнородных культур.

Математические приемы, используемые в различных разделах статистики,

непосредственно связаны с вычислением средних величин.

Средние в общественных явлениях обладают относительным постоянством,

т.е. в течение какого-то определенного промежутка времени однотипные

явления характеризуются примерно одинаковыми средними.

Средине величины очень тесно связаны с методом группировок, т.к. для

характеристики явлений необходимо исчислять не только общие (для всего

явления) средние, но и групповые (для типических групп этого явления по

изучаемому признаку).

Виды средних величин.

От того, в каком виде представлены исходные данные для расчета средней

величины, зависит по какой формуле она будет определятся. Рассмотрим

наиболее часто применяемые в статистике виды средних величин:

- среднюю арифметическую;

- среднюю гармоническую;

- среднюю геометрическую;

- среднюю квадратическую.

Для этого введем следующие понятия и обозначения:

Признак, по которому находится средняя, называемый осередняемым

признаком, обозначим буквой "х"

Значения признака, которые встречаются у группы единиц или отдельных

единиц совокупности (не повторяясь) называются вариантами признака и

обозначаются через x1, x2, x3 и т.д. Средняя величина этих значений

обозначается через " " .

Средняя арифметическая величина может быть простой и взвешенной.

Средняя арифметическая простая рассчитывается по формуле [pic], т.е.

как сумма вариантов признака, деленная на их число. Средняя арифметическая

простая применяется в тех случаях, когда каждая варианта признака

встречается в совокупности один или равное число раз.

Средняя арифметическая взвешенная вычисляется по формуле [pic], где fi

- частота повторения i-ых вариантов признака, называемая весом. Таким

образом, средняя арифметическая взвешенная равна сумме взвешенных вариантов

признака, деленная на сумму весов. [pic] Она применяется в тех случаях,

когда каждая варианта признака встречается несколько (неравное) число раз.

При расчете средней по интервальному вариационному ряду необходимо

сначала найти середину интервалов. Это и будут значения xi, а количество

единиц совокупности в каждой группе fi (таблица 4.1).

Таблица 4.1.

|Возраст рабочего, лет |Число рабочих, чел (fi) |Середина возрастного |

| | |интервала, лет (xi) |

|20-30 |7 |25 |

|30-40 |13 |35 |

|40-50 |48 |45 |

|50-60 |32 |55 |

|60 и более |6 |65 |

|Итого |106 |Х |

Средний возраст рабочих цеха будет равен [pic]лет.

Средняя гармоническая величина является преобразованной средней

арифметической величиной. Применяется она тогда, когда необходимые веса

(fi) в исходных данных не заданы непосредственно, а входят сомножителем в

одни из имеющихся показателей. Она также может быть простой и взвешенной.

Средняя гармоническая простая рассчитывается по формуле [pic], т.е. это

обратная величина средней арифметической простой из обратных значений

признака.

Формула средней гармонической взвешенной:

[pic], где Mi=xi*fi (по содержанию).

Например, необходимо определить среднюю урожайность всех технических

культур на основании следующих данных (таблица 4.2):

Таблица 4.2

Валовой сбор и урожайность технических культур по одному из районов во

всех категориях хозяйств.

|Культуры |Валовой сбор, ц (Mi) |Урожайность, ц/га (xi) |

|Хлопчатник |97,2 |30,4 |

|Сахарная свекла |601,2 |467,0 |

|Подсолнечник |46,3 |11,0 |

|Льноволокно |2,6 |2,9 |

|Итого |743,3 |Х |

Здесь в исходной информации веса (площадь под культурами) не заданы,

но входят сомножителем в валовой сбор, равный урожайности, умноженной на

площадь Mi=xi*fi , поэтому [pic], а средняя урожайность будет равна [pic].

Средняя геометрическая также может быть простой и взвешенной.

Применяется главным образом при нахождении средних коэффициентов роста.

Средняя геометрическая простая находится по формуле

[pic], а средняя геометрическая взвешенная - по формуле [pic]. Сфера

применения этой средней будет рассмотрена в теме "Ряды динамики".

Средняя квадратическая применяется в тех случаях, когда приходится

осереднять величины, входящие в исходную информацию в виде квадратических

функций. Простая средняя квадратическая [pic], взвешенная [pic]. Наиболее

широко этот вид средней используется при расчете показателей вариации.

Структурные средние.

Для характеристики структуры вариационных рядов применяются так

называемые структурные средние. Наиболее часто используются в экономической

практике мода и медиана.

Мода - это наиболее часто встречающаяся варианта признака в данной

совокупности.

В дискретных вариационных рядах мода определяется по наибольшей

частоте. Предположим товар А реализуют в городе 9 фирм по цене в рублях:

44; 43; 44; 45; 43; 46; 42; 46;43;

Так как чаще всего встречается цена 43 рубля, то она и будет

модальной.

В интервальных вариационных рядах моду определяют приближенно по

формуле

[pic], где

x0 - нижняя граница модального интервала;

d - величина модального интервала;

f2 - частота модального интервала;

f1 - частота интервала, предшествующая модальному;

f3 - частота интервала, следующая за модальным.

Место нахождения модального интервала определяют по наибольшей частоте

(таблица 4.3)

Таблица 4.3.

Распределение населения РФ по уровню среднедушевого месячного дохода в

I-ом полугодии 1995 года

|Среднедушевой месячный |Удельный вес населения, |Накопленная частота, % |

|доход, руб. |% (f i) |(Si) |

|менее 100 |2,4 |2,4 |

|100-300 |35,5 |37,9 |

|300-500 |30,0 |67,9 |

|500-700 |15,7 |83,6 |

|700-900 |7,7 |91,3 |

|900 и выше |8,7 |100,0 |

|Всего |100,0 |Х |

Интервал 100-300 в данном распределении будет модальным, т.к. он имеет

наибольшую частоту (f=35,5). Тогда по вышеуказанной формуле мода будет

равна:

[pic] руб.

Мода применяется для решения некоторых практических задач. Так,

например, при изучении товарооборота рынка берется модальная цена, для

изучения спроса на обувь, одежду используют модальные размеры обуви и

одежды и др.

Медиана - это численное значение признака у той единицы совокупности,

которая находится в середине ранжированного ряда (построенного в порядке

возрастания, либо убывания значения изучаемого признака). Медиану иногда

называют серединной вариантой, т.к. она делит совокупность на две равные

части.

В дискретных вариационных рядах с нечетным числом единиц совокупности

- это конкретное численное значение в середине ряда. Так в группе студентов

из 27 человек медианным будет рост у 14-го, если они выстроятся по росту.

Если число единиц совокупности четное, то медианой будет средняя

арифметическая из значений признака у двух средних членов ряда. Так, если в

группе 26 человек, то медианным будет рост средний 13-го и 14-го студентов.

В интервальных вариационных рядах медиана определяется по формуле:

[pic] , где

x0 - нижняя гранича медианного интервала;

d - величина медианного интервала;

Sme-1 - сумма накопленных частот до медианного интервала;

fMe - частота медианного интервала.

По данным таблицы 4.3. определим медианное значение среднедушевого

дохода. Для этого необходимо определить какой интервал будет медианным.

Используя формулу номера медианной единицы ряда, т.е. середины [pic] (%) .

Затем определяем накопленную частоту.

Дробное значение N (всегда при четном числе членов) равное 50,5%

говорит о том, что середина ряда находится между 50% и 51%, т.е. в третьем

интервале. Отсюда медиана по формуле будет определена

[pic] руб.

соотношение моды, медианы и средней арифметической указывает на

характер распределения признака в совокупности, позволяет оценить его

асимметрию. Если M0

[pic]

сделать заключение, что наиболее распространенным является доход порядка

271 руб. в месяц. В то же время более половины населения располагают

доходом свыше 381 руб., при среднем уровне 435 руб. [pic] руб. Из

соотношения этих показателей следует сделать вывод о правосторонней

асимметрии распределения населения по уровню среднедушевого денежного

дохода.

Тренировочные задания.

1. Выпуск продукции двумя цехами завода за два периода характеризуется

следующими данными:

|№ |Базисный период |Отчетный период |

|цеха | | |

| |Удельный вес |Стоимость |Удельный вес |Стоимость всей |

| |продукции 1 |продукции 1 |продукции 1 |произведенной |

| |сорта, % |сорта, тыс. руб|сорта |продукции, тыс. руб |

|1 |90 |2800 |88 |2700 |

|2 |82 |1700 |85 |2000 |

Определите средний удельный вес продукции 1 сорта по двум цехам вместе

в базисном и отчетном периодах.

2. По нижеприведенной группировке магазинов по размеру товарооборота

определите модальную и медианную величину товарооборота одного

магазина:

|Группы магазинов по размеру |Число магазинов |

|товарооборота, тыс. руб. | |

|До 50 |10 |

|50-100 |13 |

|100-200 |19 |

|200 и более |8 |

|итого |50 |

Тест

1. Возможна ли многовариантность значений среднего показателя,

рассчитанного по одним и тем же данным?

А) да;

Б) нет.

2. Могут ли средняя величина, мода и медиана совпадать?

А) могут;

Б) не могут.

3. Может ли ряд распределения характеризоваться двумя и более модами?

А) нет;

Б) может двумя;

В) может двумя и более.

4. Может ли ряд распределения иметь две и более медианы?

А) нет;

Б) может быть две;

В) может быть две и более.

5. По какой формуле можно рассчитать среднюю арифметическую величину,

если повторяемость каждого варианта признака равная?

А) средней арифметической простой;

Б) средней арифметической взвешенной;

В) по обеим формулам.

6. Какую формулу средней следует использовать для определения процента

выполнения плана по объединению (из двух предприятий), если первое

предприятие выпустило продукции на сумму 800 тыс. рублей и выполнило

план на 95 %, а второе произвело продукции на 900 тыс. рублей и

выполнило план на 102 %?

А) простую среднюю арифметическую;

Б) взвешенную среднюю арифметическую;

В) взвешенную среднюю гармоническую.

7. По результатам экзамена по одному из предметов получено следующее

распределение оценок по баллам:

|Балл оценки |2 (неуд) |3 (удовл.) |4 (хор.) |5 (отл.) |

|знаний | | | | |

|студентов | | | | |

|Число оценок, |6 |75 |99 |120 |

|полученных | | | | |

|студентами | | | | |

Каковы значения модального балла успеваемости и медианы?

А) мода больше медианы;

Б) мода меньше медианы;

В) мода равна медиане.

5.Показатели вариации

Сущность и причины вариации.

Информация о средних уровнях исследуемых показателей обычно бывает

недостаточной для глубокого анализа изучаемого процесса или явления.

Необходимо учитывать и разброс или вариацию значений отдельных единиц,

которая является важной характеристикой изучаемой совокупности. Каждое

индивидуальное значение признака складывается под совместным воздействием

многих факторов. Социально-экономические явления, как правило, обладают

большой вариацией. Причины этой вариации содержатся в сущности явления.

Показатели вариации определяют как группируются значения признака

вокруг средней величины. Они используются для характеристики упорядоченных

статистических совокупностей: группировок, классификаций, рядов

распределения. В наибольшей степени вариации подвержены курсы акций, объёмы

спроса и предложения, процентные ставки в разные периоды и в разных местах.

Абсолютные и относительные показатели вариации

По смыслу определения вариация измеряется степенью колеблемости

вариантов признака от уровня их средней величины, т.е. как разность х-х. На

использовании отклонений от средней построено большинство показателей

применяемых в статистике для измерения вариаций значений признака в

совокупности.

Самым простейшим абсолютным показателем вариации является размах

вариации R=xmax-xmin . Размах вариации выражается в тех же единицах

измерения, что и Х. Он зависит только от двух крайних значений признака и,

поэтому, недостаточно характеризует колеблемость признака.

Среднее линейное отклонение является средней величиной из абсолютных

значений отклонений от средней арифметической величины.

Простое: [pic]. Взвешенное: [pic].

Среднее линейное отклонение имеет единицы измерения как у признака.

Дисперсия (средний квадрат отклонения) – это средняя арифметическая из

квадратов отклонений значений варьирующего признака от средней

арифметической .

[pic] – простая; [pic]– взвешенная.

Дисперсию в отдельных случаях удобнее рассчитывать по другой формуле,

представляющей собой алгебраическое преобразование предыдущих формул:

[pic],где [pic] или [pic]

Наиболее удобным и широко распространенным на практике показателем

является среднее квадратическое отклонение ((). Оно определяется как

квадратный корень из дисперсии.

Абсолютные показатели вариации зависят от единиц измерения признака и

затрудняют сравнение двух или нескольких различных вариационных рядов.

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10