Ряды динамики

[pic] на уровень , принятый за постоянную базу сравнения , [pic] по формуле

11:

[pic]

(11)

2.2 Средние показатели в рядах динамики

Для получения обобщающих показателей динамики социально --

экономических явлений определяются средние величины : средний уровень ,

средний абсолютный прирост , средний темп роста и прироста и пр.

Средний уровень ряда динамики характеризует типическую величину

абсолютных уровней .

В интервальных рядах динамики средний уровень у определяется делением

суммы уровней [pic]на их число n (формула 12):

[pic]

(12)

В моментном ряду динамики с равноотстоящими датами времени средний

уровень определяется по формуле 13:

[pic] (13)

В моментном ряду динамики с неравноотстоящими датами средний уровень

определяется по формуле 14:

[pic] ,

(14)

где [pic] – уровни ряда динамики , сохранившиеся без изменения в

течение промежутка времени [pic].

Средний абсолютный прирост представляет собой обобщенную

характеристику индивидуальных абсолютных приростов ряда динамики . Для

определения среднего абсолютного прироста [pic] сумма цепных абсолютных

приростов [pic]делится на их число n (формула 15):

[pic]

(15)

Средний абсолютный прирост может определяться по абсолютным уровням

ряда динамики . Для этого определяется разность между конечным [pic]и

базисным [pic] уровнями изучаемого периода , которая делится на m – 1

субпериодов (формула 16):

[pic]

(16)

Основываясь на взаимосвязи между цепными и базисными абсолютными

приростами , показатель среднего абсолютного прироста можно определить по

формуле 17:

[pic]

(17)

Средний темп роста – обобщающая характеристика индивидуальных темпов

роста ряда динамики . Для определения среднего темпа роста [pic]

применяется формула 18:

[pic] (18)

где Тр1 , Тр2 , ... , Трn -- индивидуальные (цепные) темпы роста (в

коэффициентах), n -- число индивидуальных темпов роста.

Средний темп роста можно определить и по абсолютным уровням ряда

динамики по формуле 19:

[pic]

(19)

На основе взаимосвязи между цепными и базисными темпами роста средний

темп роста можно определить по формуле 20:

[pic]

(20)

Средний темп прироста можно определить на основе взаимосвязи между

темпами роста и прироста . При наличии данных о средних темпах роста для

получения средних темпов прироста используется зависимость , выраженная

формулой 21:

[pic]

(21)

(при выражении среднего темпа роста в коэффициентах)

3 Проверка ряда на наличие тренда. Непосредственное выделение тренда

Изучение тренда включает в себя два основных этапа :

1) Ряд динамики проверяется на наличие тренда

2) Производится выравнивание временного ряда и непосредственное

выделение тренда с экстраполяцией полученных показателей –

результатов .

Проверка на наличие тренда в ряду динамики может быть осуществлена по

нескольким критериям .

1) Метод средних . Изучаемый ряд динамики разбивается на несколько

интервалов (обычно на два) , для каждого из которых определяется

средняя величина ([pic]) . Выдвигается гипотеза о существенном

различии средних . Если эта гипотеза принимается , то признается

наличие тренда .

2) Фазочастотный критерий знаков первой разности (критерий Валлиса и

Мура) . Суть его заключается в следующем : наличие тренда в

динамическом ряду утверждается в том случае , если этот ряд не

содержит либо содержит в приемлемом количестве фазы – изменение

знака разности первого порядка (абсолютного цепного прироста).

3) Критерий Кокса и Стюарта . Весь анализируемый ряд динамики разбивают

на три равные по числу уровней группы (в том случае , когда число

уровней ряда не делится на три , недостающие уровни надо добавить) и

сравнивают между собой уровни первой и последней групп .

4) Метод серий . По этому способу каждый конкретный уровень временного

ряда считается принадлежащим к одному из двух типов : например ,

если уровень ряда меньше медианного значения , то считается , что он

имеет тип А , в противном случае – тип В. Теперь последовательность

уровней выступает как последовательность типов . В образовавшейся

последовательности типов определяется число серий (серия – любая

последовательность элементов одинакового типа , с обоих сторон

граничащая с элементами другого типа).

Если в ряду динамики общая тенденция к росту или снижению отсутствует

, то количество серий является случайной величиной , распределенной

приближенно по нормальному закону (для n > 10) . Следовательно , если

закономерности в изменениях уровней нет , то случайная величина R

оказывается в доверительном интервале

[pic].

Параметр t назначается в соответствии с принятым уровнем доверительной

вероятности Р.

Среднее число серий вычисляется по формуле 22 :

[pic].

(22)

Среднее квадратическое отклонение числа серий вычисляется по формуле

23 :

[pic] .

(23)

здесь n -- число уровней ряда .

Выражение для доверительного интервала приобретает вид

[pic]

Полученные границы доверительного интервала округляют до целых чисел ,

уменьшая нижнюю границу и увеличивая верхнюю .

Непосредственное выделение тренда может быть произведено тремя

методами .

1) Укрупнение интервалов . Ряд динамики разделяют на некоторое

достаточно большое число равных интервалов . Если средние уровни по

интервалам не позволяют увидеть тенденцию развития явления ,

переходят к расчету уровней за большие промежутки времени ,

увеличивая длину каждого интервала (одновременно уменьшается

количество интервалов) .

2) Скользящая средняя . В этом методе исходные уровни ряда заменяются

средними величинами , которые получают из данного уровня и

нескольких симметрично его окружающих . Целое число уровней , по

которым рассчитывается среднее значение , называют интервалом

сглаживания . Интервал может быть нечетным (3,5,7 и т.д. точек) или

четным (2,4,6 и т.д. точек).

При нечетном сглаживании полученное среднее арифметическое значение

закрепляют за серединой расчетного интервала , при четном это делать нельзя

. Поэтому при обработке ряда четными интервалами их искусственно делают

нечетными , для чего образуют ближайший больший нечетный интервал , но из

крайних его уровней берут только 50%.

Недостаток методики сглаживания скользящими средними состоит в

условности определения сглаженных уровней для точек в начале и конце ряда .

Получают их специальными приемами – расчетом средней арифметической

взвешенной . Так , при сглаживании по трем точкам выровненное значение в

начале ряда рассчитывается по формуле 24 :

[pic]. (24)

Для последней точки расчет симметричен .

При сглаживании по пяти точкам имеем такие уравнения (формулы 25):

[pic] (25)

Для последних двух точек ряда расчет сглаженных значений полностью

симметричен сглаживанию в двух начальных точках .

Формулы расчета по скользящей средней выглядят , в частности ,

следующим образом (формула 26):

для 3--членной [pic] . (26)

3) Аналитическое выравнивание . Под этим понимают определение основной

проявляющейся во времени тенденции развития изучаемого явления .

Развитие предстает перед исследователем как бы в зависимости только

от течения времени . В итоге выравнивания временного ряда получают

наиболее общий , суммарный , проявляющийся во времени результат

действия всех причинных факторов . Отклонение конкретных уровней

ряда от уровней , соответствующих общей тенденции , объясняют

действием факторов , проявляющихся случайно или циклически . В

результате приходят к трендовой модели , выраженной формулой 27:

[pic] ,

(27)

где f(t) – уровень , определяемый тенденцией развития ;

[pic] -- случайное и циклическое отклонение от тенденции.

Целью аналитического выравнивания динамического ряда является

определение аналитической или графической зависимости f(t) . На практике по

имеющемуся временному ряду задают вид и находят параметры функции f(t) , а

затем анализируют поведение отклонений от тенденции. Функцию f(t) выбирают

таким образом , чтобы она давала содержательное объяснение изучаемого

процесса .

Чаще всего при выравнивании используются следующий зависимости :

линейная [pic] ;

параболическая [pic];

экспоненциальная [pic]

или [pic]).

1) Линейная зависимость выбирается в тех случаях , когда в исходном

временном ряду наблюдаются более или менее постоянные абсолютные и

цепные приросты , не проявляющие тенденции ни к увеличению , ни к

снижению.

2) Параболическая зависимость используется , если абсолютные цепные

приросты сами по себе обнаруживают некоторую тенденцию развития , но

абсолютные цепные приросты абсолютных цепных приростов (разности

второго порядка) никакой тенденции развития не проявляют .

3) Экспоненциальные зависимости применяются , если в исходном временном

ряду наблюдается либо более или менее постоянный относительный рост

(устойчивость цепных темпов роста , темпов прироста , коэффициентов

роста) , либо , при отсутствии такого постоянства , -- устойчивость

в изменении показателей относительного роста (цепных темпов роста

цепных же темпов роста , цепных коэффициентов роста цепных же

коэффициентов или темпов роста и т.д.).

Оценка параметров ([pic]) осуществляется следующими методами :

1) Методом избранных точек,

2) Методом наименьших расстояний,

3) Методом наименьших квадратов (МНК)

В большинстве расчетов используется метод наименьших квадратов ,

который обеспечивает наименьшую сумму квадратов отклонений фактических

уровней от выравненных :

[pic].

Для линейной зависимости ([pic]) параметр [pic] обычно интерпретации

не имеет , но иногда его рассматривают , как обобщенный начальный уровень

ряда ; [pic]-- сила связи , т. е. параметр , показывающий , насколько

изменится результат при изменении времени на единицу . Таким образом ,

[pic]можно представить как постоянный теоретический абсолютный прирост .

Построив уравнение регрессии , проводят оценку его надежности . Это

делается посредством критерия Фишера (F) . Фактический уровень ([pic]) ,

вычисленный по формуле 28, сравнивается с теоретическим (табличным)

значением :

[pic] , (28)

где k -- число параметров функции , описывающей тенденцию;

n -- число уровней ряда ;

Остальные необходимые показатели вычисляются по формулам 29 – 31 :

[pic]

(29)

[pic] (30)

[pic] (31)

[pic]сравнивается с[pic] при [pic] степенях свободы и уровне

значимости ( (обычно ( = 0,05). Если [pic]>[pic], то уравнение регрессии

значимо , то есть построенная модель адекватна фактической временной

тенденции.

4 Анализ сезонных колебаний

Уровень сезонности оценивается с помощью :

1) индексов сезонности ;

2) гармонического анализа.

Индексы сезонности показывают , во сколько раз фактический уровень

ряда в момент или интервал времени t больше среднего уровня либо уровня ,

вычисляемого по уравнению тенденции f(t) . При анализе сезонности уровни

временного ряда показывают развитие явления по месяцам (кварталам) одного

или нескольких лет . Для каждого месяца (квартала) получают обобщенный

индекс сезонности как среднюю арифметическую из одноименных индексов

каждого года . Индексы сезонности – это , по либо уровень существу ,

относительные величины координации , когда за базу сравнения принят либо

средний уровень ряда , либо уровень тенденции . Способы определения

индексов сезонности зависят от наличия или отсутствия основной тенденции .

Если тренда нет или он незначителен , то для каждого месяца (квартала)

индекс рассчитывается по формуле 32:

[pic]

(32)

где [pic]-- уровень показателя за месяц (квартал) t ;

[pic]-- общий уровень показателя .

Как отмечалось выше , для обеспечения устойчивости показателей можно

взять больший промежуток времени . В этом случае расчет производится по

формулам 33 :

[pic] (33)

где [pic] -- средний уровень показателя по одноименным месяцам за

ряд лет ;

Т -- число лет .

При наличии тренда индекс сезонности определяется на основе методов ,

исключающих влияние тенденции . Порядок расчета следующий :

1) для каждого уровня определяют выравненные значения по тренду f(t);

2) рассчитывают отношения [pic];

3) при необходимости находят среднее из этих отношений для одноименных

месяцев (кварталов) по формуле 34 :

[pic],(Т -- число лет). (34)

Другим методом изучения уровня сезонности является гармонический

анализ . Его выполняют , представляя временной ряд как совокупность

гармонических колебательных процессов .

Для каждой точки этого ряда справедливо выражение , записанное в виде

формулы 35 :

[pic] (35)

при t = 1, 2, 3, ... , Т.

Здесь [pic] -- фактический уровень ряда в момент (интервал)

времени t;

f(t) – выравненный уровень ряда в тот же момент (интервал) t

[pic] -- параметры колебательного процесса (гармоники) с

номером n , в совокупности оценивающие размах (амплитуду) отклонения

от общей тенденции и сдвиг колебаний относительно начальной точки .

Общее число колебательных процессов , которые можно выделить из ряда ,

состоящего из Т уровней , равно Т/2. Обычно ограничиваются меньшим числом

наиболее важных гармоник . Параметры гармоники с номером n определяются по

формулам 36 –38 :

1) [pic];

(36)

2) [pic]

(37)

[pic] при n=1,2,...,(T/2 – 1);

3)[pic] (38)

4 Анализ взаимосвязанных рядов динамики .

В простейших случаях для характеристики взаимосвязи двух или более

рядов их приводят к общему основанию , для чего берут в качестве базисных

уровни за один и тот же период и исчисляют коэффициенты опережения по

темпам роста или прироста .

Коэффициенты опережения по темпам роста – это отношение темпов роста

(цепных или базисных) одного ряда к соответствующим по времени темпам роста

(также цепным или базисным) другого ряда . Аналогично находятся и

коэффициенты опережения по темпам прироста .

Анализ взаимосвязанных рядов представляет наибольшую сложность при

изучении временных последовательностей . Однако нередко совпадение общих

тенденций развития может быть вызвано не взаимной связью , а прочими

неучитываемыми факторами . Поэтому в сопоставляемых рядах предварительно

следует избавиться от влияния существующих в них тенденций , а после этого

провести анализ взаимосвязи по отклонениям от тренда . Исследование

включает проверку рядов динамики (отклонений) на автокорреляцию и

установление связи между признаками .

Под автокорреляцией понимается зависимость последующих уровней ряда от

предыдущих . Проверка на наличие автокорреляции осуществляется по критерию

Дарбина – Уотсона (формула 39) :

[pic] ,

(39)

где [pic]-- отклонение фактического уровня ряда в точке t от

теоретического (выравненного) значения .

При К = 0 имеется полная положительная автокорреляция , при К = 2

автокорреляция отсутствует , при К = 4 – полная отрицательная

автокорреляция . Прежде чем оценивать взаимосвязь , автокорреляцию

необходимо исключить . Это можно сделать тремя способами .

1. Исключение тренда с авторегрессией. Для каждого из взаимосвязанных

рядов динамики Х и У получают уравнение тренда (формулы 40) :

[pic]

(40)

Далее выполняют переход к новым рядам динамики , построенным из

отклонений от трендов , рассчитанным по формулам 41 :

[pic]

(41)

Для последовательностей [pic] выполняется проверка на автокорреляцию

по критерию Дарбина – Уотсона . Если значение К близко к 2 , то данный ряд

отклонений оставляют без изменений . Если же К заметно отличается от 2 , то

по такому ряду находят параметры уравнения авторегрессии по формулам 42 :

[pic]

(42)

Более полные уравнения авторегрессии можно получить на основе анализа

автокорреляционной функции , когда определяются число параметров ([pic]) и

соответствующие этим параметрам величины шагов .

Далее по формуле 43 подсчитываются новые остатки :

[pic] (t = 1, ... , Т) (43)

и , по формуле 44, коэффициент корреляции признаков :

[pic].

(44)

2. Корреляция первых разностей . От исходных рядов динамики Х и У

переходят к новым , построенным по первым разностям (формулы 45) :

[pic]

(45)

По (Х и (У определяют по формуле 46 направление и силу связи в

регрессии:

[pic] (46)

3. Включение времени в уравнение связи : [pic].

В простейших случаях уравнение выглядит следующим образом (формула

47):

[pic]

(47)

Из перечисленных методов исключения автокорреляции наиболее простым

является второй , однако более эффективен первый .

Страницы: 1, 2