На рисунке 2.6 показана траектория движения иона в системе центра масс. Эта траектория симметрична по отношению к прямой, проведенной в ближайшую к центру точку орбиты (см. на рисунке 2.6 прямая ОА). Углы между ОА и обеими асимптотами к траектории одинаковы. Если обозначить эти углы ?0, то видно, что угол рассеяния иона в СЦМ равен:

. (2.17)

Из (2.16) следует, что

. (2.18)

Так как из (2.10) и (2.11)

, , (2.19)

То

, (2.20)

где rmin -- минимальное расстояние, на которое частица приближается к рассеивающему центру, м; v -- относительная скорость сталкивающихся частиц на "бесконечном" расстоянии друг от друга, .

Таким образом, угол рассеяния иона ? в СЦМ зависит от формы потенциальной энергии поля U(r) и кинетической энергии иона Eотн:

. (2.21)

Величина rmin есть значение r при и определяется как корень выражения, стоящего под знаком радикала в формулах (2.16) и (2.20) [21, 22]:

. (2.22)

Важнейшей характеристикой процесса рассеяния является эффективное сечение рассеяния:

, (2.23)

где п -- число частиц, проходящих в единицу времени через единицу площади поперечного сечения однородного пучка; dN -- количество частиц, рассеянных в единицу времени в единицу телесного угла , т. е. рассеянных в углы, лежащие в интервалах от ? до ?+d? и от ? до ?+d?.

Для ионов с энергией 1 - 10 кэВ ( Дж) связь между прицельным расстоянием и углом рассеяния взаимно однозначна, и в интервал углов от ? до ?+d? рассеиваются только те частицы, для которых прицельное расстояние заключено в интервале от р до p+dp. Число таких частиц равно

, (2.24)

и поэтому

. (2.25)

Следовательно, окончательно имеем

. (2.26)

Итак, зная потенциальную энергию взаимодействия сталкивающихся частиц U(r), энергию Tn, Tmax, ? и сечение рассеяния d? по формулам (2.8), (2.9), (2.20) и (2.26) можно найти упругие потери энергии ионом и дифференциальное сечение рассеяния.

Главную роль играет выбор потенциала взаимодействия. Если скорость налетающей частицы сравнима со скоростью любого электрона атома мишени или меньше ее, то необходимо учитывать экранирование ядер атомными электронами. В настоящее время еще не найдено точное значение потенциала взаимодействия частиц с учетом экранирования ядер электронами [1, 2, 12, 21, 22, 57]. Однако существует несколько приближенных выражений для потенциала, хорошо описывающих взаимодействие частиц в различных энергетических интервалах [22, 57 - 61].

Потенциал Томаса-Ферми-Фирсова [67 - 69]. При изучении систем со многими взаимодействующими частицами приходится ограничиваться приближенными методами, применение которых дает удовлетворительное описание реальных свойств и параметров. Для атомов и молекул такими методами являются: вариационный метод и метод самосогласованного поля Хартри--Фока [65, 70]. Вариационный метод обычно используется только для легких атомов, в то время как методом Хартри--Фока могут быть изучены любые атомные системы. В методе самосогласованного поля каждый электрон рассматривается движущимся в сглаженном симметричном относительно центра (ядра) потенциальном поле, образованном ядром и всеми электронами. Состояние отдельного электрона атома может быть описано некоторой собственной функцией, а собственная функция всего атома комбинируется из собственных функций отдельных электронов.

Для атомной системы с большим числом электронов движение частиц под действием самосогласованного потенциала может считаться квазиклассическим в преобладающей части пространства. Потенциал в этом случае является слабоменяющейся функцией координат за исключением области вблизи ядра и периферийной части атома. Квазиклассическое приближение к уравнениям Хартри--Фока носит название приближения Томаса--Ферми [63, 71].

В статистической модели атома Томаса--Ферми объем атома разделяется на элементы объема dv, в которых содержится значительное число электронов и в каждом из них потенциал можно считать постоянным. Эти условия не выполняются в периферийной области атомов из-за малого количества электронов, а около ядра -- из-за резкого изменения потенциала. Для устранения этих недостатков квазиклассического приближения приходится вводить квантовые поправки. В статистической модели атома Томаса--Ферми принимается во внимание только электростатическое взаимодействие между электронами, тогда как взаимодействие электронов с параллельными (обменная поправка) и антипараллельными (корреляционная поправка) спинами не учитывается.

Таким образом, из статистической теории атомных систем можно найти распределение потенциала или электронной плотности как функции расстояния от ядра r [22, 57]:

, (2.27)

где ; радиус экранирования Томаса-Ферми-Фирсова, м [22, 57]. Этот потенциал более приближен к реальному, особенно для атомов с большим порядковым номером Z. Именно поэтому он наиболее подходит для расчётов пробегов ионов азота в металлах и сплавах.

Функция экранирования находится как решение дифференциального уравнения , но аналитически это уравнение не решается. В работе [67] представлена в табулированном виде. Однако пользоваться численными значениями не всегда удобно, поэтому до настоящего времени не прекращаются попытки найти её приближённое значение. Для практических задач исследователями получен ряд аппроксимаций функции Томаса-Ферми:

- Зоммерфельда [58]:

; (2.28)

- Гаспара [59]:

; (2.29)

- Тейтца [60]:

; (2.30)

- Видефола [61]:

. (2.31)

Литературные данные [46, 47, 57 - 61, 76, 78] не позволяют выбрать из этих аппроксимаций наилучшую, поэтому при практических расчетах можно использовать любую из предложенных функций.

С повышением энергии ионов возрастает вклад неупругого торможения на электронах материала подложки и при можно учитывать только электронное торможение иона. В разделе 2.3.2 рассмотрим потери энергии, происходящие при этом процессе.

2.3.2 Электронное торможение иона в материале

В настоящее время еще не получена общая формула, описывающая неупругие потери энергии ионом во всем диапазоне энергий имплантации [3]. Поэтому приходится ограничиваться формулами, справедливыми для узких энергетических интервалов.

Расчет электронных потерь энергии можно проводить на основе теорий Фирсова [22] и Линдхарда - Шарфа [21]. Для диапазона энергий имплантируемых ионов 1 - 10 кэВ ( Дж) неупругие потери энергии вычислены только для потенциала Томаса--Ферми--Фирсова.

Формула Линдхарда--Шарфа [47]. Авторы нашли формулу, позволяющую вычислить потери энергии на единицу длины пути:

, (2.32)

где -- скорость иона до столкновения, ; v0 -- скорость электрона на первой боровской орбите атома водорода, ; a0 - радиус экранирования Бора, м.

Формула (2.32) подходит для расчёта электронных потерь энергии ионом в одноатомных поликристаллических материалах. В формуле нет связи между потерями энергии и прицельным параметром, что увеличивает погрешность результатов. Поэтому для расчётов методом Монте-Карло целесообразнее использовать формулу Фирсова [74] или Кишиневского [75].

Формула Фирсова. В теории Фирсова учитывается непосредственная связь между потерей энергии и прицельным параметром, что позволяет построить более адекватную модель, основанную на вероятностных методах расчета.

Средняя энергия Te передаваемая атому мишени при одном столкновении, равна:

, (2.33)

Нахождение потерь энергии на единицу длины пути сопряжено со значительными вычислительными трудностями, так как при этом необходимо проводить усреднение по всем параметрам соударений. Однако формулу (2.33) можно использовать в методе Монте-Карло, так как в этом случае потери энергии ионом считаются для каждого отдельного взаимодействия ион-атом. Формула применяется для атомов с близкими Z, причем Z1 и Z2 должны быть больше 10. При ионной имплантации азота в металлы Z1 Z2 и Z1 = 7 (Z1 < 10), значит использование формулы (2.33) для расчёта электронных потерь энергии ионами азота при имплантации в металлы и сплавы может существенно увеличить погрешность результата. Обобщение формулы (2.33) на случай, когда Z1 Z2, получено Л. М. Кишиневским.

Формула Кишиневского. Согласно его расчетам

, (2.34)

где Zmin -- меньший, a Zmax -- больший из зарядов сталкивающихся частиц.

Формула (2.34) позволяет получить более точные результаты, так как учитывает связь между потерями энергии и прицельным параметром и учитывает различие между Z1 и Z2. Она наиболее подходит для расчёта методом Монте-Карло электронных потерь энергии ионами азота при имплантации в металлы или сплавы.

Рассчитав потери энергии по формулам (2.5) и (2.32) можно найти средний пробег и средний проецированный пробег ионов по формулам (2.2) и (2.3) в различных фазах сплавов или чистых металлах. Для расчёта потерь энергии ионами при имплантации в реальные материалы, имеющие сложный химический состав, необходимо воспользоваться соотношениями (2.8) и (2.34). Также, определив угол рассеяния ? из формулы (2.21), можно по формуле (2.25) определить дифференциальное сечение рассеяния.

Полученные из формул (2.2) и (2.3) значения пробегов ионов используются для расчёта распределения примеси в твёрдом теле после имплантации.

2.4 Распределение примеси и дефектов в материале подложки в зависимости от энергии ионов азота

Вследствие статистического характера взаимодействия ионов с атомами мишени наблюдается разброс пробегов ионов. Для металлов и сплавов распределение пробегов ионов приблизительно гауссовское. Такое распределение характеризуется двумя параметрами -- средним значением Rp и среднеквадратическим отклонением ?Rp (страгглингом пробега).

Для определения распределения имплантированных атомов наряду с параметрами пробега Rp и ?Rp нужно знать полную дозу имплантированных ионов Ф, м-2. Её можно получить через полный заряд всех ионов Q, Кл, который можно измерить в процессе имплантации [22]. Удельная доза имплантируемых ионов:

, (2.35)

где q -- заряд иона, Кл; Q -- полный заряд, Кл; А -- площадь имплантации, м2.

При использовании этой формулы предполагается, что все попавшие на мишень ионы являются ионами заданного вида примеси с зарядом q и остаются в имплантируемой мишени и что устройство измерения правильно интегрирует ток пучка, а легируемая площадь А корректно определена.

Однако, приведенные выше предположения не всегда достижимы в существующих системах измерения дозы. Поэтому измерение дозы имплантации всегда проводится с той или иной погрешностью, которая обусловлена следующими факторами: неоднородностью приходящего на мишень ионного пучка по зарядовому и массовому составу, недостатками измерения цилиндром Фарадея и блоком измерения дозы.

Основную погрешность в измерении дозы имплантации вносит нейтральная компонента пучка, которая появляется в результате перезарядки ионов в области после ускорения. Этот происходит при столкновении ионного потока с потоком выбитых ими электронов с поверхности материала подложки. Нейтральные атомы не только нарушают корреляцию между интегрируемым током и дозой, но для систем с электростатическим сканированием приводят к значительной неоднородности дозы имплантации.

Одним из основных процессов, сопровождающих ионное облучение твёрдого тела является образование в нём нарушений кристаллической структуры из-за передачи энергии иона атомам и электронам вещества. Определяющую роль при образовании дефектов играют ядерные взаимодействия. Если энергия, передаваемая ионом атому решётки (упругие потери), превышает энергию связи атома в кристаллической решётке, то последний выбивается из своего положения и переходит в междоузлие. Таким образом возникает точечный дефект - вакансия-межузельный атом (пара Френкеля). Для железа и сплавов на его основе энергия связи составляет 40 эВ. Если энергия, переданная первично смещённому атому, превышает энергию связи в несколько раз и более, то атом, в свою очередь может сместить другие атомы, те - следующие и т.д. Так образовываются каскады смещений. Напряжения, возникающие при образовании вакансии являются растягивающими, а имплантированный азот создаёт напряжения сжатия, то есть противоположные по знаку. Таким образом, для расчёта остаточных концентрационных напряжений, кроме концентрации ионов, необходимо учитывать и концентрацию вакансий.

Концентрация ионов Сi(х) как функция расстояния от поверхности выражается соотношением (2.36), а концентрация вакансий Сv(х) соотношением (2.37) [1 - 3, 12, 21, 57]:

, (2.36)

, (2.37)

где х -- расстояние от поверхности металла (глубина проникновения иона в материал), м; , ?x, kd - характеристики распределения вакансий [3].

Как показано в работе [21] в режиме насыщения максимальная концентрация имплантированной примеси Nmax определяется выражением:

, (2.38)

где N плотность атомов обрабатываемого материала, м-3, S - коэффициент распыления.

Коэффициент распыления равен числу атомов, выбиваемых одним падающим ионом и рассчитывается по формуле:

, (2.39)

где s - безразмерный коэффициент, характеризующий эффективность передачи энергии, который зависит от отношения масс взаимодействующих частиц; Sn сечение упругого торможения при начальной энергии иона E0, Дж; Eb - энергия связи атомов на поверхности обрабатываемого материала, Дж. Таким образом, теоретически величина предельной концентрации примеси не зависит от дозы облучения, определяясь плотностью атомов обрабатываемого материала и коэффициентом распыления его ионами имплантируемой примеси. Поскольку коэффициент распыления является функцией порядковых номеров и массовых чисел иона и обрабатываемого материала, а также энергии иона, то величина Nmax будет существенно зависеть от этих параметров. Поэтому изменяя энергию иона можно менять максимальную концентрацию имплантированной примеси. Также и для различных материалов подложки эта величина будет разной.

Знание распределения примеси и точечных дефектов в материале подложки после имплантации необходимо для нахождения остаточных концентрационных напряжений.

2.5 Остаточные концентрационные напряжения

Как правило, глубина модифицированного слоя значительно меньше размеров легированной поверхности изделия. Тогда имплантированный материал можно схематизировать как полупространство. Предполагаем, что до обработки поверхность была свободна от напряжений, а начальные концентрации дефектов и примесей равнялись нулю. При наличии примесей и дефектов поверхностный слой растягивается или сжимается и затем остается в таком состоянии. Напряжения в поверхностном слое (рисунок 2.7) описываются следующим уравнением [34]:

(2.40)

где ?xx, ?yy, ?zz - нормальные напряжения, действующие вдоль координатных осей, ; Сi(х) - концентрация ионов, м-3; Сv(х) - концентрация вакансий, м-3; ? - модуль упругости материала подложки, ; ? - атомный объём кристаллической решётки материала подложки, м3; ?V - релаксационный объём точечного дефекта.

Рисунок 2.7 - Остаточные концентрационные напряжения в поверхностном слое материала подложки после имплантации.

Остаточные концентрационные напряжения определяют свойства материала после имплантации. Для расчета концентрационных напряжений по соотношению (2.40) необходимо определить распределение концентраций примесных атомов Ci(x) и вакансий Cv(x). Для их расчёта необходимо определить пробеги ионов, которые рассчитываются с помощью метода Монте-Карло (см. раздел 3.1). Использование этого метода позволяет учесть вероятностный характер физических процессов, протекающих при ионной имплантации в мишенях сложного химического состава, - таких как металлы и сплавы.

3. Методики расчёта основных параметров физических процессов, происходящих при ионной имплантации

Страницы: 1, 2, 3, 4