Основные представления о специальной и общей теории относительности

При ? = V/c > 0 релятивистский закон сложения скоростей (13) с

точностью до линейных по ? членов переходит в формулу преобразования

скоростей в классической механике:

|v = v' + V.|

| |

| |

Из (13) следует, что скорость частицы меньшая скорости света в

вакууме (v' < c) в одной системе отсчета, останется меньше скорости света в

вакууме (v < c) в любой другой системе отсчета, движущейся по отношению к

первой с досветовой скоростью V < c. Если же [pic]' = (c,0,0), то [pic]=

(c,0,0): скорость света одна и та же во всех системах отсчета.

Более общее преобразование скорости можно получить из формулы (14),

если в ней перейти к дифференциалам координат и времени и использовать, что

vx = dx/dt, vy = dy/dt, vz = dz/dt и аналогичные выражения для

vx', vy', vz'. После преобразования получившегося соотношения, получим

|vx' = |

|vx + V |

|[pic] |

|1 - V vx/c2 |

|, vy' = |

|vy |

| |

|________ |

|?1 - V2/c2 |

| |

| |

| |

|[pic] |

|1 - V vx/c2 |

|, vz' = |

|vz |

| |

|________ |

|?1 - V2/c2 |

| |

| |

| |

|[pic] |

|1 - V vx/c2 |

|. |

| |

2.5 Собственное время, события и мировые линии частиц

В качестве часов наблюдатели в системах S, S' могут использовать

любой периодический процесс, например, излучение атомов или молекул на

определенных фиксированных частотах. Время, отсчитываемое по часам,

движущимся вмемте с данным объектом, называется собственным временем этого

объекта. Для измерения длин можно взять некоторый эталон - линейку.

Собственной длиной линейки называется ее длина l0 в той системе, в которой

она покоится. Величина l0 равна модулю разности координат концов линейки в

один и тот же момент времени.

Совокупность декартовых координат [pic]= (x,y,z) и момента времени t

в некоторой инерциальной системе отсчета определяют событие. Событием

является, например, нахождение точечной частицы в момент времени t в точке

пространства, указанной вектором [pic].

Множество всех событий образуют "четырехмерный Мир Минковского".

Отдельные точки в четырехмерном пространстве указывают координаты и время

некоторого "события". Последовательность кинематических состояний любого

тела (его координаты в разные моменты времени) изображается мировой линией

(Рис. 7).

[pic]

Рис. 7

Если частицы движутся только вдоль оси 0x, то наглядно представить

"Мир Минковского" можно с помощью плоскости координат (с t, x). Время

удобно умножить на скорость света, чтобы обе координаты имели одинаковую

размерность. Это можно сделать, поскольку скорость света - универсальная

мировая константа.

[pic]

Рис. 8

Мировыми линиями (в отличие от траекторий классической механики)

обладают не только движущиеся, но и покоящиеся в данной инерциальной

системе отсчета тела. Так, мировая линия тела, покоящегося в начале

координат, будет совпадать с временной осью 0 ct, а тела, покоящегося в

пространственной точке xa - является прямой AB, параллельной оси времени.

Мировая линия тела, движущегося с постоянной скоростью V - (и при t = 0,

находящегося в точке x(0) = 0) - прямая CD; мировая линия светового луча,

испущенного из начала координат в напралении оси x - биссектриса

координатного угла OF; мировая линия тела, движущегося с переменной

скоростью v(t) - кривая MN (cм. Рис. 8а))

2.6 Геометрический смысл преобразований Лоренца

Выясним теперь геометрический смысл преобразований Лоренца. Еще раз

запишем его только для x и t в виде

|x' = ? (x - ? ct), ct' = ? (ct -|

|? x). |

| |

Это линейное однородное преобразование, очень похожее на

преобразование поворота на угол ? в плоскости XY:

|x' = x cos?+ y sin?, y' = - |

|x sin?+y cos?. |

| |

Новые оси x', y', получающиеся в результате поворота изображены на

Рис. 8 б).

Важнейшим свойством преобразования поворота является сохранение

расстояния между любыми двумя точками: r12 = r'12.

Здесь:

[pic]

Введем величину, зависящую от параметров двух событий { [(r1)\vec],t1

} и { [(r2)\vec],t2 } и определенную равенством

|s12 = [ c2 (t2 - t1)2 - (x2 - x1)2 - (y2 - |(15) |

|y1)2- (z2 - z1)2 ]1/2. | |

| | |

Она называется пространственно - временным интервалом.

Прямой подстановкой формул (12) можно проверить, что величина

пространственно - временного интервала между двумя событиями является

инвариантом преобразований Лоренца:

|s12' = s12. |(16) |

| | |

В двумерном случае [pic]можно рассматривать как "расстояние" между

точками плоскости ct, x. Но квадрат разности координат входит в s12 со

знаком "минус". Пространство, в котором расстояние между точками определено

формулой (15) называется псевдоевклидовым. Наряду с отмеченным сходством,

между евклидовым и псевдоевклидовым пространствами имеются принципиальные

различия. В евклидовом пространстве расстояние между любыми точками r212 ?

0, равенство нулю означает, что точки совпадают. В псевдоевклидовом

пространстве s212 может иметь любой знак, а его обращение в нуль возможно

для двух совершенно различных точек пространства - времени.

Найдем положение новых осей (x', ct') на псевдоевклидовой плоскости.

Отложим координата x, ct на прямоугольных осях. (Рис. 9). Точка x' = 0,

сопадающая с началом координат системы S', движется в системе S со

скоростью V. Ее мировая линия будет представлять собой ось времени ct'

системы S'. Эта ось будет наклонена к оси ct на угол ? = arctg (V/c). Ось

x' новой системы можно определить условием ct' = 0. Но тогда в старой

системе координат это будет прямая ct = ?x, проходящая через начало

координат и составляющая с осью x тот же угол ? = arctg (V/c).

Приходим к выводу, что новая система координат косоугольна! Если

попытаться найти связь между отрезками x', ct' и x, ct, посто проектируя

отрезки (так как это делается в эвклидовом случае), то получится

неправильный результат. Преобразования Лоренца не только поворачивают оси,

но и искажают масштабы координат по осям!

Итак, основной результат состоит в том, что преобразования Лоренца

можно интерпретировать, как псевдоевклидово вращение системы координат в

пространстве Минковского.

[pic]

Рис. 9

С помощью Рис. 9 можно дать геометрическую интерпретацию различным

следствиям из преобразований Лоренца. Вспомним, например, относительность

одновременности. В системе S линии равного времени - прямые параллельные

оси 0x. В системе S' - это прямые, параллельные 0x', не совпадающие с

линиями равного времени в системе S. Поэтому события, одновременные в S, не

будут в общем случае одновременными в S. Например, между одновременными в

системе S событиями A и B в системе S' пройдет промежуток времени ? t' =

|A'B'|/c, причем событие B произойдет раньше.

Как ясно из вышеизложенного, на псевдоевклидовой плоскости квадрат

интервала s212 может быть как положительным, так и равным нулю и

отрицательным.

Если s212 > 0, его называют времениподобным, при s212 < 0 -

пространственноподобным, при s212 = 0 - светоподобным или нулевым.

Характер интервала тесно связан c причинностью - он определяет

возможность причинной связи событий, происходящих в пространственно -

временных точках 1 и 2. Если s212 > 0, то из точки 1 можно послать сигнал

со скоростью [pic], который вызовет событие 2. В случае s212 = 0 это также

возможно, но сигнал должен посылаться с предельной скоростью c. События,

разделенные пространственноподобным интервалом, не могут быть причинно

обусловлены, т.к. сигналы не могут распространяться со скоростью [pic].

2.7 Замедление времени

Рассмотрим часы, покоящиеся в начале координат движущейся системы (x'

= 0), которые перемещаются относительно лабораторной системы координат со

скоростью V, так что их координата x = V t пропорциональна времени,

определяемому неподвижными часами. Инвариантность интервала позволяет,

тогда, определить показания движущихся часов:

|t' = t |(17) |

| | |

|________ | |

|?1 - V2/c2 | |

| | |

|. | |

| | |

Время, измеряемое часами, движущимися относительно лабораторной

системы отсчета, замедляется.

Как ни покажется странным, но тот же вывод справедлив относительно

замедления темпа хода часов в лабораторной системе координат с точки зрения

наблюдателя из движущейся системы отсчета, т.е. "движущиеся" и "покоящиеся"

часы взаимно отстают друг от друга.

С последним замечанием тесно связан широко известный парадокс

близнецов (см. ниже раздел "Задачи").

Замедление хода времени в движущейся системе отсчета было

экспериментально подтверждено американскими физиками Б. Росси и Д.Х. Холлом

в 1941 году. Они наблюдали увеличение среднего времени жизни мюонов,

двигавшихся со скоростью v ? c, в 6 ч8 раз по сравнению с временем жизни

неподвижных мюонов.

Особая ценность этого эксперимента состоит в том, что процесс распада

мюонов определяется слабым взаимодействием, в то время как СТО была

построена для описания систем с электромагнитным взаимодействием.

2.8 Лоренцево сокращение длины

Стержень, расположенный вдоль оси 0'X' движущейся системы отсчета и

покоящийся в ней, имеет длину l0. Если один из концов стержня (для

простоты) сосвпадает с началом координат этой системы, то в момент t = 0 по

часам лабораторной системы отсчета координаты концов стержня определяются

преобразованием Лоренца:

|x1 = 0, x2 = l = l0 |(18) |

| | |

| ________ | |

|?1 - V2/c2 | |

| | |

|. | |

| | |

Длина движущегося стержня в лабораторной системе отсчета уменьшается

в направлении движения. Это изменение длины называется сокращением Лоренца

- Фитцджеральда.

Поскольку поперечные размеры тела не изменяются, то легко видеть, что

объем тела также уменьшается:

|V = V0 |(19) |

| | |

| ________ | |

|?1 - V2/c2 | |

| | |

|. | |

| | |

3 Динамика специальной теории относительности

3.1 Энергия и импульс частицы

Под массой частицы m будем понимать ее массу, измеряемую в системе

покоя частицы - массу покоя.

Релятивистским импульсом частицы массы m, движущейся в выбранной

инерциальной системе отсчета со скоростью [pic], называется векторная

величина [pic], определяемая формулой

| |(20) |

|> | |

|p | |

| | |

|= | |

|m | |

|> | |

|v | |

| | |

| | |

| | |

|[pic] | |

| | |

| | |

| ________ | |

|?1 - (v/c)2 | |

| | |

| | |

| | |

| | |

|. | |

| | |

Релятивистский импульс имеет ту же размерность, что и импульс в

классической механике. При v/c > 0, [pic]> m [pic] (с точностью до

линейных по v/c слагаемых).

Энергией частицы в релятивистской физике называется величина E,

определяемая выражением

|E = |(21) |

|m c2 | |

|[pic] | |

| | |

| | |

| ________ | |

|?1 - (v/c)2 | |

| | |

| | |

| | |

| | |

|. | |

| | |

Энергия имеет ту же размерность и измеряется в тех же единицах, что и

энергия в ньютоновской механике.

Энергия частицы в той системе отсчета, в которой она покоится,

называется ее энергией покоя E0:

|E0 = |

|mc2. |

| |

При ? = v/c > 0 релятивистское выражение для энергии частицы может быть

записано в виде

|E = mc2 + |

|m v2 |

|[pic] |

|2 |

|= E0 + |

|m v2 |

|[pic] |

|2 |

|. |

| |

Второе слагаемое совпадает с кинетической энергией частицы в

классической теории. Разность E - mc2 = T называют кинетической энергией

релятивистской частицы.

Из формул (20) и (21) находим полезную формулу для скорости частицы:

| |(22) |

|> | |

|v | |

| | |

|= c2 | |

| | |

|> | |

|p | |

| | |

| | |

| | |

|[pic] | |

|E | |

|. | |

| | |

3.2 Релятивистские преобразования энергии и импульса

Рассмотрим вновь две инерциальные системы отсчета, движущиеся друг

относительно друга со скоростью V в направлении оси x.

Закон преобразования для величин (E, [pic]) и (E', [pic]'),

измеряемых в системах S и S', имеет форму преобразования (23):

|E' = |(23) |

|E - V px | |

|[pic] | |

| | |

| | |

| ________ | |

|?1 - (V/c)2 | |

| | |

| | |

| | |

| | |

|, px' = | |

|px - E V/c2 | |

|[pic] | |

| | |

| | |

| ________ | |

|?1 - (V/c)2 | |

| | |

| | |

| | |

| | |

|, py' = py, pz' = pz. | |

| | |

Таким образом,энергия и импульс частицы зависят от выбора системы

отсчета, однако существует величина, которая имеет абсолютный смысл. Из

формул (23) следует, что

| |

|? |

|? |

|? |

| |

|E' |

|[pic] |

|c |

| |

|? |

|? |

|? |

|2 |

| |

| |

|- |

|> |

|p |

| |

| '2 = |

|? |

|? |

|? |

| |

|E |

|[pic] |

|c |

| |

|? |

|? |

|? |

|2 |

| |

| |

|- |

|> |

|p |

| |

| 2 = m2 c2, |

| |

из которого следует, что масса частицы одинакова во всех системах отсчета

и, следовательно, является релятивистским инвариантом.

[pic]

Рис. 10

Используя последнее выражение можно легко получить соотношение, связывающее

энергию и импульс в релятивистской физике:

[pic]

.

Эта зависимость энергии от импульса изображена на Рис. 10. При малых

значениях импульса E = m c2 + p2/2 m, а при достаточно больших импульсах

E = p c.

Иногда формулу (21), записывают в виде E = m(v) c2, вводя "релятивистскую

массу" частицы, зависящую от скорости:

|m(v) = |

|m |

|[pic] |

| |

| |

| ________ |

|?1 - (v/c)2 |

| |

| |

| |

| |

|. |

| |

Саму же формулу (21) истолковывают, как "эквивалентность" энергии и

массы в релятивистской физике. Однако такое утверждение приводит лишь к

путанице (а в преждние времена вело даже к ожесточенным идеологическим

спорам). Масса и энергия совершенно разные характеристики частицы. Масса -

инвариант, а энергия - динамическая характеристика, зависящая от выбора

системы отсчета. Взаимосвязь энергии и массы частицы имеет место только в

системе покоя частицы.

Поэтому понятие "массы, зависящей от скорости" [(m)/([?(1 -

(v/c)2)])] лишено физического смысла!

3.3 Частицы с нулевой массой покоя

Если в формулах (20,21) формально положить скорость частицы v = c, то

энергия и импульс частицы обращаются в бесконечность. Это значит, что

частица с отличной от нуля массой покоя не может двигаться со скоростью

света. В релятивистской механике однако предполагается, что существовуют

частицы с массой покоя равной нулю, всегда движущиеся со скоростью света.

Из (22) видно, что для таких частиц модуль импульса и энергия связаны

соотношением:

|| |

|> |

|p |

| |

|| = |

|E |

|[pic] |

|c |

|, |

| |

откуда следует, что здесь

|(E/c)2 - |

|> |

|p |

| |

| 2 |

| |

|= 0 |

| |

в соответствии с тем, что m = 0.

К частицам с нулевой массой покоя относятся, например, фотоны - кванты

электромагнитного поля. В больших деталях их свойства будут обсуждены в

разделе "Квантовая теория" - задание N 5.

3.3 Релятивистский эффект Доплера

Рассмотрим плоскую монохроматическую волну

|E( |(23) |

|> | |

|r | |

| | |

| ,t) = E0 cos | |

|? | |

|? | |

| | |

|> | |

|k | |

| | |

|· | |

|> | |

|r | |

| | |

|- ? t | |

|? | |

|? | |

|. | |

| | |

Здесь ?- частота волны, а [pic]= k [pic] - волновой вектор (k =

[(?)/( c)] - волновое число, [pic]- единичный вектор в направлении

распространения волны (см. Рис. 11).)

[pic]

Рис. 11

Выясним закон преобразования частоты и волнового вектора при переходе

в другую инерциальную систему отсчета. Будем для определенности считать,

что волна распространяется под углом ? к оси 0x, вдоль которой со скоростью

V движется "штрихованная" система отсчета S'. Из Рис. 11 видно, что

существуют пространственно - временные точки, в которых векторы поля

обращаются в нуль (узловые точки волны - те точки, в которых косинус равен

нулю). Ясно, что это свойство поля носит объективный характер и должно

выполняться во всех инерциальных системах отсчета. Отсюда следует, что фаза

электромагнитной волны должна быть инвариантна!

| |

|> |

|k |

| |

|· |

|> |

|r |

| |

|- ?t = |

|> |

|k |

| |

|' |

| |

|· |

|> |

|r |

| |

|' |

| |

|-?' t'. |

| |

В декартовых координатах это условие принимает вид:

|kx x +ky y + kz z -? t = kx' x' |(24) |

|+ky' y' + kz' z' - ?' t'. | |

| | |

Поскольку x, y, z, t связаны с x', y', z', t' преобразованием Лоренца , то

для обеспечения инвариантности фазы необходимо, чтобы выполнялись

преобразования

|?' = |(25) |

|?- V kx | |

|[pic] | |

| | |

| | |

| ________ | |

|?1 - V2/c2 | |

| | |

| | |

| | |

| | |

|, kx' = | |

|kx - V/c2 ? | |

|[pic] | |

| | |

| | |

| ________ | |

|?1 - V2/c2 | |

| | |

| | |

| | |

| | |

|, ky' = ky, kz' = kz. | |

| | |

Прямой подстановкой формул (25) в соотношение (24) можно проверить

его выполнение.

Найдем теперь связю между частотой ?0 в системе источника волны и

частотой ? той же волны в системе наблюдателя.

Полагая в первой формуле из (25) ?' = ?0, kx = [(?)/( c)] cos?, где

?- угол распространения волны относительно V в системе наблюдателя

(приемника), найдем

|? = ?0 |(26) |

| | |

| | |

| ________ | |

|?1 - V2/c2 | |

| | |

| | |

| | |

|[pic] | |

|1 - (V/c)cos? | |

|. | |

| | |

Эта формула выражает собой эффект Доплера - изменение частоты волны,

вызанное относительным движением источника и приемника.

При V/c 0) и убывает

при их удалении (V|| < 0) продольный эфект Доплера. Если относительная

скорость направлена перпендикулярно лучу зрения (cos? = 0), то уменьшение

частоты представляет собой эффект, квадратичный по V/c:

|?? = - |

|?0 |

|[pic] |

|2 |

| |

|? |

|? |

|? |

| |

|V |

|[pic] |

|c |

| |

|? |

|? |

|? |

|2 |

| |

| |

| |

| |

- поперечный эффект Доплера.

При выводе последних двух формул учтено, что при V/c << 1

| |

|1 |

|[pic] |

|1 - (V/c)cos? |

|? 1 + (V/c)cos?, |

| |

| ________ |

|?1 - (V/c)2 |

| |

|? 1 - (V/c)2/2. |

| |

Красное смещение (в сторону волн большей длины) наблюдаемое на Земле в

спектрах излучения далеких галактик по сравнению с эталонными линиями

интерпретируется как эффект раширения Метагалактики (наблюдаемой части

Вселенной) - взаимного удаления галактик друг от друга. В 1928 г. Э.

Хабблом было обнаружено, что скорости разбегания галактик приблизительно

пропорциональны расстоянию до них:

|v ~ |

|H R. |

| |

Константа Хаббла H ? 50 ч100 км/(с·Мпк). Значение H-1 ? 13 млрд. лет

определяет время, истекшее с начала расширения Метагалактики при условии

постоянной скорости расширения.

Заключение

ОТО — завершенная физическая теория. Она завершена в том же смысле,

что и классическая механика, классическая электродинамика, квантовая

механика. Подобно им, она дает однозначные ответы на физически осмысленные

вопросы, дает четкие предсказания для реально осуществимых наблюдений и

экспериментов. Однако, как и всякая иная физическая теория, ОТО имеет свою

область применимости. Так, вне этой области лежат сверхсильные

гравитационные поля, где важны квантовые эффекты. Законченной квантовой

теории гравитации не существует.

ОТО — удивительная физическая теория. Она удивительна тем, что в ее

основе лежит, по существу, всего один экспериментальный факт, к тому же

известный задолго до создания ОТО (все тела падают в поле тяжести с одним и

тем же ускорением). Удивительна тем, что она создана в большой степени

одним человеком. Но прежде всего ОТО удивительна своей необычайной

внутренней стройностью, красотой. Не случайно Ландау говорил, что истинного

физика-теоретика можно распознать по тому, испытал ли человек восхищение

при первом же знакомстве с ОТО.

Примерно до середины 60-х годов ОТО находилась в значительной мере

вне основной линии развития физики. Да и развитие самой ОТО отнюдь не было

весьма активным, оно сводилось в большой степени к выяснению определенных

тонких мест, деталей теории, к решению пусть важных, но достаточно частных

задач.

Вероятно, одна из причин такой ситуации состоит в том, что ОТО

возникла в некотором смысле слишком рано, Эйнштейн обогнал время. С другой

стороны, уже в его работе 1915 года теория была сформулирована в достаточно

завершенном виде. Не менее важно и то обстоятельство, что наблюдательная

база ОТО оставалась очень узкой. Соответствующие эксперименты чрезвычайно

трудны. Достаточно напомнить, что красное смещение удалось измерить лишь

спустя почти 40 лет после того, как было обнаружено отклонение света в поле

Солнца.

СТО возникла больше для решения специальных задач и никоим образом

не противоречит принципам ОТО. Она лишь дополнение реального состояния

науки с точки зрения потребности современной физики и естествознания.

Релятивизм не мертв, он лишь отражение состояния научно-технической мысли

того времени.

Тем не менее, в настоящее время СТО — бурно развивающаяся область

современной физики. Это результат огромного прогресса наблюдательной

астрономии, развития экспериментальной техники, впечатляющего продвижения в

теории.

Список использованных источников

1. “Принцип относительности” Лоренц, Пуанкаре, Эйнштейн и Минковский;

ОНТИ ; 1935 г., стр. 134

2. Полное собрание трудов, Л. И. Мандельштам; Том 5, стр. 172

3. А.Эйнштейн. К электродинамике движущихся сред. - М.: 1966.

4. "Общая теория относительности"; Н. В. Мицкевич; Москва., 1927 г

5. "Парадоксы теории относительности"; Я. П. Терлецкий; Москва., 1965 г.

6. Л.В. Тарасов, Современная физика в средней школе. М.: Просвещение,

1990.

7. В.Н. Дубровский, Я.А. Смородинский, Е.Л. Сурков, Релятивистский мир.

(Библиотечка "Квант", выпуск 34). М.: Наука, 1984.

8. Э.Тейлор, Дж. Уилер, Физика пространства - времени. М.: Мир, 1969.

9. И.И. Гольденблат, Парадоксы времени в релятивистской механике. М.:

Наука, 1972.

10. И.М. Гельфгат, Л.Э. Генденштейн, Л.А. Кирик, 1001 задача по физике с

ответами, указаниями, решениями. Москва - Харьков, Илекса. 1997.

11. И.И. Воробьев Теория относительности в задачах. М.: Наука, 1989.

12. П.В. Елютин, Г.А. Чижов, Словарь-справочник по элементарной физике.

Часть 3. М., 1995.

13. Эйнштейн, Л.Инфельд. Эволюция физики. - М.: 1966.

14. В.Л.Гинзбург. О теории относительности. - М.: Наука, 1970.

15. Г.Линдер. Картины современной физики. - М.: Мир, 1977.

16. А.В.Горелов. Элементы теории относительности- элементарное изложение

специальной теории относительности.

17. П.А.М.Дирак. Воспоминания о необычайной эпохе. - М.: Наука, 1990.

-----------------------

[pic]

Рис.1. Сферический треугольник

Рис. 2. Гравитационная линза. Осесимметричный случай.

S — источник, L — линза; O — наблюдатель

Рис.3. Гравитационная линза. Общий случай.

S — проекция источника на фронтальную плоскость,

L — проекция линзы, I1, I2 — изображения источника

Страницы: 1, 2, 3