Ядерные силы

Ядерные силы

Содержание

Введение 3

Изотопический спин 4

Обменные силы 10

Насыщение ядерных сил 18

Мезоны и ядерные силы 20

Классификация элементарных частиц 23

Литература 28

Введение

Ядерные силы являются короткодействующими. Это заключение основано на

опытах по рассеянию заряженных и незаряженных частиц ядрами.

Приемлемые значения размеров зеркальных ядер, полученные в

предположении, что разность их энергий связи обусловлена только

электростатическим взаимодействием, свидетельствуют, по-видимому, о том,

что гипотеза зарядовой независимости ядерных сил не находится в

противоречии с экспериментальными фактами.

Мы уже обращали внимание на то, что весьма важным свойством ядерных

сил является свойство насыщения, проявляющееся в постоянстве плотности

ядерного вещества почти во всех ядрах и в линейном возрастании энергии

связи с увеличением массового числа.

Существование дейтрона — устойчивой системы протона и незаряженного

нейтрона – свидетельствует о наличии действующих между ними сил

неэлектрического характера. Эти силы не могут быть силами чисто магнитного

взаимодействия (хотя оно и не исключается), поскольку такое взаимодействие

не может обусловить среднюю энергию связи нуклона, составляющую около 7,5

Мэв.

Опыты по рассеянию нейтронов протонами указывают на зависимость

ядерных сил от спинов нуклонов. Существование электрического квадрупольного

момента дейтрона и неаддитивность магнитных моментов протона и нейтрона в

дейтроне указывают на тензорный характер ядерных сил. Кроме того,

взаимодействие между нуклонами может зависеть и от скоростей нуклонов.

Все перечисленные факты должны быть учтены при изучении природы

ядерных сил и должны быть объяснены теорией.

Изотопический спин

Известно, что протон и нейтрон являются двумя различными зарядовыми

состояниями нуклона. Зарядовое состояние, описывается с помощью зарядовой

координаты t, принимающей два значения: +1/2 для протонного и -1/2 для

нейтронного состояния, подобно тому как спиновая переменная s может

принимать два значения, соответствующие двум возможным значениям проекции

вектора спина на заданное направление. Эта аналогия между спиновой и

зарядовой координатами позволяет использовать математический аппарат теории

спина.

Вводится либо оператор зарядовой координаты t с компонентами

являющимися такими же матрицами, как и компоненты оператора спина sx, sy и

sz, либо оператор изотопического спина , который связан с t соотношением:

подобно тому как оператор Паули [pic] связан с

оператором спина S.

Оператор [pic] изотопического спина имеет, как и оператор Паули [pic]–

три компоненты — матрицы [pic], ничем не отличающиеся от матриц Паули:

«Пространство [pic]» — пространство изотопического спина, — однако не

следует смешивать с обычным координатным пространством, с которым может

быть связано направление обычного спина.

Операторам [pic] можно дать физическую интерпретацию; для этого введем

два новых оператора [pic], связанных с [pic], следующим образом:

В матричной форме эти операторы имеют следующий вид:

[pic]

Каждый нуклон описывается двухкомпонентной функцией, которую можно

представить в виде матрицы-столбца. Протонное и нейтронное состояния

нуклона описываются соответственно функциями

[pic]

Действие операторов на функции [pic] описывается следующими

соотношениями:

Таким образом, оператор [pic] «уничтожает» протонное состояние и

«превращает» нейтрон в протон, а оператор [pic]_ «уничтожает» нейтронное

состояние и «превращает» протон в нейтрон.

Оператор [pic] действует на [pic] следующим образом:

[pic]

Итак, очевидно, что соотношения, встречающиеся в теории изотопического

спина, ничем не отличаются от аналогичных соотношений нерелятивистской

теории обычного спина. Вектор как и вектор обычного спина s, имеет

только два значения проекции на ось Ј. Проекции +1/2 соответствует

протонное, а проекции -1/2 — нейтронное состояние нуклона. Переходу от

протонного к нейтронному состоянию и наоборот соответствует вращение на

180° в пространстве изотопического спина относительно оси, лежащей в

плоскости [pic]

Ядро, состоящее из А нуклонов (A=Z+N), характеризуется оператором

изотопического спина

[pic]

являющимся вектором в изотопическом пространстве. Абсолютная величина

Т этого вектора согласно закону сложения квантовых векторов может принимать

значения 0, . . . , А/2. -компонента изотопического спина ядра равна

[pic]

так как сумма [pic] всех протонов равна Z/2, а сумма [pic] нейтронов

–N/2.

Абсолютная величина Т вектора изотопического спина не может быть

меньше абсолютной величины проекции его на ось Ј, т. е. [pic], и поэтому

должно выполняться неравенство:

[pic]

Это означает, что ядро может иметь равный нулю изотопический спин Т

только в том случае, когда число протонов Z равно числу нейтронов N.

Изотопический спин ядра может быть равен единице, либо когда число протонов

равно числу нейтронов, либо когда число протонов отличается от числа

нейтронов на единицу.

Изотопический спин системы, состоящей из двух нуклонов, может быть

равен либо единице, либо нулю. Если Т=1, то [pic] может принимать три

значения: -1, 0, +1. Значению Т= - 1 соответствует система, состоящая из

двух нейтронов (каждому, нейтрону соответствует [pic] ); значению Т=0

соответствует система, состоящая из протона и нейтрона (заряд равен +1).

При Г=1 заряд системы равен +2, т. е. система состоит из двух протонов.

Итак, изотопическому спину Г= 1 соответствует изобарный триплет n – n,

n – р, р – р. Все. компоненты этого триплета, состояния которых

удовлетворяют принципу Паули ) , имеют одинаковые спины, четности и

одинаковую внутреннюю структуру.

Таким образом, при T=1 возможны только такие состояния системы

n – р, которые могут иметь место для систем, состоящих из двух протонов или

двух нейтронов: 'S0, (3Po, 3P[pic][pic], 3P[pic]) , т. е. только четные

синглеты и нечетные триплеты. При T=0 существует только одно значение

[pic]-компоненты изотопического спина: T[pic]. Этому

состоянию системы двух нуклонов соответствуют симметричные волновые функции

[pic] , т. е. четные триплеты и нечетные синглеты.

Приведенная классификация состояний дает возможность более четко

сформулировать сущность зарядовой независимости, т. е. изотопической

инвариантности ядерных сил, для системы, состоящей из двух нуклонов:

ядерное взаимодействие любой пары нуклонов в состояниях с Т= 1 одинаково.

Гипотеза изотопической инвариантности ядерных сил основана на

предположении, что в изотопическом пространстве отсутствуют физически

выделенные направления: трехмерное изотопическое пространство [pic]

изотропно.

Представление об изотопической инвариантности легко может быть

обобщено на случай более сложных систем, состоящих из Z протонов и N

нейтронов. В случае строгого выполнения изотопической инвариантности

гамильтониан системы не должен меняться при замене любого протона на

нейтрон и наоборот. Все состояния системы, в которой произведена такая

замена, должны совпадать с состояниями первоначальной системы, если только

они не запрещены принципом Паули .

Замена протона нейтроном означает уменьшение Т[pic] на единицу, т. е.

поворот вектора Т в изотопическом пространстве. Если в результате такой

замены гамильтониан не изменится, то он инвариантен относительно вращения в

изотопическом пространстве. Изотопический спин системы в этом приближении

является интегралом движения, т. е. он сохраняется. Каждому состоянию

системы соответствует определенный изотопический спин Т, зависящий от

изотопических спинов всех частиц, образующих систему, и от их ориентации в

изотопическом пространстве.

В действительности протоны по своим свойствам (по массе,

электрическому заряду, магнитному моменту) несколько отличаются от

нейтронов, поэтому замена протона нейтроном и наоборот должна приводить к

изменению гамильтониана системы. Это означает, что изотопический спин Т не

является точным «квантовым числом. Вследствие кулоновского взаимодействия в

гамильтониан должны войти члены, не инвариантные относительно вращений в

изотопическом пространстве. Однако в легких ядрах, содержащих небольшое

число протонов, кулоновское взаимодействие значительно слабее ядерного,

благодаря чему зарядово-неинвариантные члены гамильтониана можно

рассматривать как малое возмущение. Такое возмущение приводит к тому, что

состояние системы может являться смесью состояний с различными значениями

изотопического спина. При очень малых зарядово-неинвариантных членах

состояние системы можно характеризовать изотопическим спином, играющим роль

неточного квантового числа. Из анализа экспериментальных данных следует,

что для невозбужденных состояний ядер изотопический спин имеет смысл

квантового числа вплоть до Z[pic]20. Легкие ядра можно разбить на две

группы: ядра с целым и полуцелым изотопическим спином Т (т. е. ядра

соответственно с четными и нечетными A). Каждому значению Т соответствует

2Т+1 возможных значений проекции изотопического спина Т[pic], образующих

изотопический мультиплет. Целочисленному изотопическому спину Т

соответствует нечетное, а полуцелому — четное число компонент мультиплета.

С увеличением Г энергетическая устойчивость ядер уменьшается,

поэтому основным состояниям ядер соответствуют малые значения

изотопического спина: Т=0, 1/2 и 1. В зависимости от значения

изотопического спина системы можно говорить об изобарных синглетах (Т = 0),

дублетах (Т=1/2) и триплетах (Т=1). К изобарным синглетам относятся такие

ядра, как 2Не4 и [pic]Н2. Это можно обосновать следующим образом. Ядру

2Не4, состоящему из четырех нуклонов, соответствует компонента T[pic] =0.

Следовательно, у 2Не4 изотопический спин Т может быть равен 0, 1 или 2.

Если бы изотопический спин 2Не4 был

равен 1 или 2, то существовали бы такие ядра, как 4Н4 и 4Ве4, причем их

энергии связи, согласно гипотезе изотопической инвариантности,

незначительно отличались бы от энергии связи 2Не4. Такие ядра, однако, не

существуют, и это свидетельствует о том, что изотопический спин 2Не4 равен

нулю. Можно показать, что равен нулю изотопический спин дейтрона, 3Li6,

5В10, 6С12, 7N14, 8О16.

Зеркальные ядра 1H3 и 2Не3 можно рассматривать как ядра, образующие

изобарный дублет. Для этих ядер изотопический спин может принимать значения

1/2 или 3/2, так как Т[pic] = ±1/2. Однако значение Т=3/2 должно быть

отброшено, поскольку при Т=3/2 существовали бы устойчивые системы из трех

протонов или трех нейтронов. Оказывается, что для основных состояний всех

ядер с нечетным А вплоть до 17Cl33 T=1/2.

Такие ядра, как 4Ве10, 5В10, 6С10, образуют изотопический триплет,

соответствующий трем возможным значениям проекции изотопического спина Т=1,

причем ядру 4Ве10. соответствует Т[pic]= – 1, 5В10 — Т[pic] = 0 и 6С10 –

Г[pic] = + 1.

Протон и нейтрон можно рассматривать как частицы, образующие нуклонный

дублет. Изотопический спин t нуклона равен 1/2, причем протонному состоянию

соответствует компонента Т[pic] = +1/2, а нейтронному Т[pic] = — 1/2 Это

позволяет выразить заряд Z нуклона (Z равен единице для протона и нулю для

нейтрона) через [pic]-компоненту изотопического спина:

[pic]

Эта формула может быть обобщена на случай, когда система состоит из

нескольких нуклонов, получим:

[pic]

Таким образом, заряд ядра выражается через Т[pic] и число нуклонов,

входящих в состав ядра.

Обменные силы

Явление насыщения и короткодействующий характер ядерных сил впервые

были объяснены на основе предположения об обменном характере ядерных сил,

т. е. что эти силы возникают между двумя частицами благодаря обмену третьей

частицей. Такой частицей в случае взаимодействия нуклонов является, по-

видимому, мезон. Если состояние двух взаимодействующих нуклонов зависит от

их пространственных r1, r2 и спиновых s1, s2 координат, то подобный обмен

может осуществляться тремя различными способами.

1) Нуклоны могут обмениваться пространственными координатами, сохраняя

неизменными спиновые переменные. Эта возможность была рассмотрена Майорана.

Силы, возникающие при таком взаимодействии, получили название сил Майорана.

2) Возможен обмен нуклонов спиновыми переменными при неизменных

пространственных координатах. Этот вариант был рассмотрен Бартлеттом. Силы

взаимодействия нуклонов при таком обмене получили название сил Бартлетта.

3) Возможен одновременный обмен спиновыми и пространственными

координатами. Возникающие при этом обменные силы известны под названием сил

Гейзенберга.

Формальное описание обменного взаимодействия осуществляется путем

введения в гамильтониан системы таких операторов, которые, действуя на

волновую функцию, вызывают перестановку координат или перестановку спинов,

либо и тех и других одновременно в зависимости от характера обменных сил.

В случае обменных сил Майорана оператор энергии взаимодействия может

быть представлен в виде произведения V(r)PM, где V(r) — функция, зависящая

от расстояния между нуклонами, а Pm — оператор, меняющий местами

пространственные координаты, входящие в волновую функцию:

[pic]

В случае, если система состоит только из двух нуклонов, оператор

Майорана Pm представляет собой оператор инверсии: Рм[pic]Р, и уравнение

Шредингера в ц-системе приобретает вид (r = rl — г2)

[pic]

Случаю сил Бартлетта соответствует оператор Рб, действующий на

волновую функцию следующим образом:

[pic]

Уравнение Шредингера для системы, состоящей из двух частиц, в этом случае

может быть записано в таком виде:

[pic]

Наконец, оператор сил Гейзенберга Рг обладает следующим

свойством:

[pic]

Уравнение Шредингера для двухнуклонной системы в этом случае имеет

вид:

[pic]

Отметим, между прочим, что обычные (не обменные) силы в теории ядра

иногда называются силами Вигнера.

Указывая вид операторов Майорана, Бартлетта и Гейзенберга, мы

предполагали, что их координатная часть V(r) зависит только от расстояния

между взаимодействующими нуклонами. В этом случае обменные силы будут

центральными, благодаря чему не смогут возникать состояния, являющиеся

суперпозицией состояний с различными [pic]. Поэтому введение o6менных сил,

координатная часть которых обладает центральной симметрией, не может

привести к асимметрии поля ядерных сил и, в частности, объяснить

возникновение электрического квадрупольного момента у дейтрона; для

описания последнего следует ввести еще тензорный потенциал.

Сами по себе тензорные силы не приводят к насыщению , в то время как

его могут объяснить силы Майорана и Гейзенберга; поэтому тензорные силы

обычно комбинируются с операторами обменных сил ).

Остановимся теперь на рассмотрении свойств различных обменных сил.

Рассмотрим сначала силы Майорана, которым соответствует оператор Pм.

Действие Pм на функцию [pic](r,s1,s2) на [pic]( –r,s1,s2) эквивалентно

изменению знака компонент радиуса-вектора r, соединяющего частицы, т. е.

эквивалентно замене [pic](r,s1,s2) на [pic]( –r,s1,s2). Поскольку V(r)

зависит только от абсолютной величины r (поле обладает центральной

симметрией), можно, используя свойство четности волновой функции, считать,

что [pic]. B таком случае уравнение (4.14) имеет вид:

[pic]

Из уравнения (4.17) следует, что для четных значений [pic] оператор

потенциальной энергии ничем не отличается от оператора потенциальной

энергии «обыкновенных» сил — сил Вигнера. Этот вывод имеет большое значение

для теории соударения двух нуклонов, так как при столкновении медленно

движущихся частиц, когда наблюдается практически только s-

рассеяние, невозможно определить, являются ли ядерные силы обменными —

силами Майорана или же «обыкновенными» — силами Вигнера. Получить сведения

о характере ядерных сил можно, лишь если наблюдается не только s-, но и

р-рассеяние. В случае сил Майорана при р-рассеянии ([pic]=1) потенциал

взаимодействия меняет знак, т. е. вместо притяжения, наблюдающегося при s-

рассеянии, при р-рассеянии будет иметь место отталкивание. Это означает,

что знак фазового сдвига [pic], описывающего р-рассеяние, противоположен

знаку [pic] соответствующему s-рассеянию. Знаки же фаз [pic] и [pic]

могут быть определены из экспериментов по рассеянию.

При рассеянии нейтронов, энергия которых не превосходит нескольких

Мэв, практически наблюдается только s-рассеяние, не позволяющее установить

обменного характера ядерных сил. Поэтому необходимо исследовать

рассеяние более высоких порядков, наблюдающееся только при

высоких энергиях частиц.

В случае сил Бартлетта, если допустить, что волновая функция может

быть представлена в виде произведения двух функций, одна из которых зависит

от пространственных координат нуклонов r=r[pic]+r[pic], а другая — от

спиновых переменных, очевидно; Pb будет действовать только на спиновую

функцию. Последняя, как известно, симметрична относительно перестановки

спиновых переменных, если спин s системы, состоящей из нейтрона и протона,

равен единице, и антисимметрична, если s=0.

Поэтому уравнение Шредингера в случае наличия сил Бартлетта может быть

представлено в виде

[pic]

и отличается от уравнения с «обыкновенным» потенциалом тем, что потенциал

имеет различный знак при s=0 и при s=l. Из опытов по рассеянию нейтронов

протонами известно, что в три-плетном и в синглетном состояниях системы

нейтрон — протон наблюдается рассеяние, которое может быть объяснено силами

притяжения, хотя величина этих сил (глубина потенциальной ямы)

оказывается различной. Это обстоятельство наряду с тем, силы Бартлетта, не

приводят к насыщению, позволяет утверждать, что ядерные силы не могут быть

только силами Бартлетта.

После замечаний, сделанных относительно сил Майорана и Бартлетта, мы

можем сразу записать уравнение Шредингера для сил Гейзенберга:

[pic]

Отсюда видно, что знак потенциала зависит от того, является ли l+s

четным или нечетным числом. В частности, при s-рассеянии нейтронов

протонами ([pic]=0) знак ( — l)i+s+1V(r) должен быть различным в триплетном

и синглетном состояниях. Это также свидетельствует, что ядерные силы не

могут быть только силами Гейзенберга.

Различное взаимодействие в триплетном и синглетном состояниях системы

протон — нейтрон может быть объяснено, если, например, предположить, что

обменные силы представляют собой «смесь» сил Гейзенберга и Майорана. В

таком случае оператор потенциальной энергии будет иметь вид

[pic]

где g — некоторый параметр, который следует выбрать так, чтобы получалось

необходимое для объяснения рассеяния взаимодействие в триплетном и

синглетном состояниях. При использовании модели прямоугольной ямы ее

глубина оказывается ~20 Мэв для триплетногро состояния и ~11,5 Мэв для

синглетного. Легко убедиться, что для получения такой глубины следует

положить g[pic]0,25. Следовательно, для объяснения рассеяния можно

допустить, что обменные силы на 25% являются силами Гейзенберга и на 75'%

—силами Майорана.

Однако последнее замечание не означает, что комбинация сил Гейзенберга

и Майорана является единственно возможной. В частности, можно было бы

получить подходящую величину взаимодействия в триплетном и синглетном

состояниях дейтрона, предположив, что ядерные силы являются комбинацией сил

Вигнера и Майорана. Опыты по рассеянию быстрых нуклонов заставляют

сомневаться в том, что комбинация таких сил может быть использована для

описания ядерного взаимодействия.

Покажем, как могут быть выражены операторы PМ, РВ, РГ через операторы

Паули о и операторы изотопического спина [pic]. Обратим внимание на то, что

из определения операторов PМ, РВ, РГ следует, что двухкратное применение

каждого из них оставляет волновую функцию неизменной. Поэтому собственные

значения P[pic], Р[pic], Р[pic] равны единице, а собственные значения

операторов PМ, РВ, РГ равны ±1.

Если снова ограничиться рассмотрением системы из двух нуклонов, то

легко видеть, что такие собственные значения операторов обменных сил (±1)

связаны с симметрией или антисимметрией волновой функции системы

относительно перестановки переменных, характеризующих систему.

Прежде всего установим связь между оператором рб и операторами Паули

[pic] и [pic] протона и нейтрона. Волновая функция триплетного состояния

(s=l) симметрична относительно перестановки спиновых переменных s[pic] и s2

нуклонов, а для синглетного состояния (s=0) антисимметрична. Это означает,

что

[pic]

Собственные значения оператора [pic] [pic] [pic]равны — 3 для

синглетного и +1 для триплетного состояния. Поэтому оператор рБ может быть

Страницы: 1, 2