реферат бесплатно, курсовые работы
 
Главная | Карта сайта
реферат бесплатно, курсовые работы
РАЗДЕЛЫ

реферат бесплатно, курсовые работы
ПАРТНЕРЫ

реферат бесплатно, курсовые работы
АЛФАВИТ
... А Б В Г Д Е Ж З И К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

реферат бесплатно, курсовые работы
ПОИСК
Введите фамилию автора:


Вывод и анализ формул Френеля на основе электромагнитной теории Максвелла

Вывод и анализ формул Френеля на основе электромагнитной теории Максвелла

МГТУ им Н.Э.Баумана

гр. ФН2-41

Котов В.Э.

Вывод и анализ формул Френеля на основе электромагнитной теории

Максвелла.

(по материалам лекций Толмачева В.В.)

Постановка задачи

Пусть имеются две диэлектрические среды 1 и 2 , с электрической и

магнитной проницаемостью [pic] и [pic] соответственно. Из среды 1 в 2

падает плоская монохроматическая волна (границу раздела будем считать

плоской).При переходе через границу раздела волна разделится на две

части : отраженную волну (в среде 1) и преломленную волну (в среде 2)

, необходимо выяснить соотношения между углами [pic] и [pic], а также

между интенсивностями падающей и отраженной волн (рис 1).

[pic]

рис.1

Данная волна должна представлять собой точное решение уравнений

Максвелла : [pic] и [pic] (1) (учитывая , что среда диэлектрическая

, т.е. [pic])

для плоской монохроматической волны точное решение этих уравнений будет

(если оси Х направить в сторону распространения волны):

[pic] и [pic] ([pic]=[pic]=0) (2)

где A и B , [pic] и [pic], [pic]- постоянные (не зависят от времени и

координаты) ,

[pic] и[pic] - характеристики среды , в которой распространяется

волна ,

[pic] , t - рассматриваемый момент времени

x - рассматриваемая координата на оси Х

V - скорость распространения волны в

данной среде

(естественно , в силу линейности уравнений Максвелла любая сумма таких

волн будет также их точным решением )

Также она должна удовлетворять условиям на границе раздела : [pic]и

[pic] не терпят разрыва на поверхности раздела , [pic] и [pic] также не

терпят разрыва , поскольку на границе раздела не течет ток и нет

поверхностной плотности заряда:

[pic] (3)

(индексом 1 обозначаем все , относящееся к первой среде , индексом 2 -

ко второй)

Таким образом , необходимо построить точное решение уравнений (1)

, удовлетворяющих условиям (3). Для этого рассмотрим два случая :

случай ТМ -волны (р-волны ) - вектор [pic]перпендикулярен плоскости

падения (трансверсальная магнитная) , и случай ТЕ-волны (s-волны)-

вектор [pic] перпендикулярен плоскости падения (трансверсальная

электрическая). Любая плоская волна (с любой поляризацией) может быть

представлена как линейная комбинация двух таких волн.

Случай ТМ -волны (p - волны)

[pic]

рис.2

Из рисунка видео , что [pic] , запишем условия равенства [pic] на

границе раздела :

[pic] ( учитывая , что волна в среде 1 есть сумма падающей и

отраженной волн)

подставляем значения[pic]:

[pic]

подставляем [pic] из (2) :

[pic]

Аналогично , поскольку [pic] получаем для вектора [pic]на границе

раздела:

[pic] ( c учетом (2) )

[pic]

для выполнения равенств для [pic]и [pic] потребуем равенства

аргументов косинусов :

[pic]

потребуем также равенства начальных фаз: [pic]

из рисунка видно , что : [pic] [pic], [pic] (4)

([pic],[pic]и [pic] - соответственно : угол падения , угол отражения и

угол преломления ) , тогда имеем :

[pic]

[pic]

[pic]

из равенства аргументов получаем :

[pic]

(т.к. [pic] , [pic] )

[pic]т.е. получены , как и следовало ожидать , законы отражения и

преломления света

разделим теперь выражения для[pic]и [pic]на [pic] , получим (c учетом

(4) ) следующую систему :

[pic] (5)

здесь неизвестными являются [pic]и [pic] , а [pic] - заданно.

Умножим первое уравнение на [pic] а второе на [pic] и вычтем из

первого второе , тогда члены с[pic] сократятся и получим:

[pic]

поскольку для неферромагнетиков магнитная проницаемость[pic]

незначительно отличается от единицы , то для сравнительно широкого

класса сред можно считать [pic], тогда:

[pic].

( разделим числитель и знаменатель на [pic], и учтя , что[pic] )

применив закон преломления , получим (6):

из второго уравнения системы (5) получаем для [pic]:

[pic] (поскольку полагаем [pic],) , тогда:

[pic][pic] (7)

проверим теперь выполнение еще двух условий на границе раздела ,которые

мы не учли -[pic] и [pic]. Второе равенство выполняется заведомо ,

поскольку [pic], проверим первое равенство [pic] :

из рисунка видно , что [pic] , а [pic] подставим значения

[pic],[pic] и [pic]( из 2) , сократив сразу на [pic] , и учитывая (4)

:

[pic](выражая [pic]через второе уравнение системы (5) )

[pic]

Таким образом действительно получено точное решение уравнений (2) ,

удовлетворяющее всем начальным условия. Итак , имеем следующие формулы

Френеля для случая s-волны для отражения и преломления (из (6) и (7) ):

[pic] и [pic]

Случай ТЕ -волны ( s - волны)

[pic]

рис.3

Из рисунка видно , что [pic]

Условия (3) для [pic] и [pic]:

[pic]

подставляя значения [pic]и [pic] из (2) получим :

[pic]как и в случае ТМ-волны предполагаем равенство аргументов

косинусов и совершенно аналогично получаем в этом случае закон

отражения и преломления света , сокращая на [pic]и с учетом (4)

получим систему :

[pic] (8)

умножим первое уравнение на [pic] а второе на [pic] и вычтем из

первого второе :

[pic]

[pic]

поскольку мы полагаем [pic] (см. выше) то [pic]

[pic] (9)

из второго уравнения системы (8) получаем:

[pic] (10)

проверим теперь неучтенные условия на границе раздела : [pic] и

[pic] .

Второе условие выполняется , поскольку [pic] , проверим выполнение

равенства : [pic] из рисунка видно , что [pic] , а [pic] подставим

значения [pic],[pic] и [pic]( из 2) , сократив сразу на [pic] , и

учитывая (4) получим : [pic]

подставляем [pic] из второго уравнения системы (8) :

[pic]

таким образом мы действительно нашли точное решение уравнений (2) ,

удовлетворяющее всем начальным условиям . В случае p-волны имеем

следующие формулы Френеля для отражения и преломления (из (9) и (10))

[pic] и [pic]

Анализ формул Френеля

Исследуем отношения энергий (точнее плотности потока энергий ) падающей

и отраженной ТМ и ТЕ волн и падающей и прошедшей волн в зависимости

от угла падения [pic]. Для этого рассмотрим отношение нормальной

составляющей вектора Пойтинга [pic] падающей и отраженной ([pic] и

[pic] в случае ТМ и ТЕ волн соответственно) и падающей и прошедшей

([pic]

и [pic]) волн. Тогда с из полученных формул Френеля для отражения и

преломления , с учетом (2) будем иметь:

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

А. Отражение

Исследуем сначала поведение [pic]и [pic] на границах отрезка [pic]:

при [pic] (просто положить [pic] равным нулю нельзя , потому что будет

неопределенность ):

[pic]

[pic]

[pic]

для случая падения из воздуха в стекло ([pic]) : [pic]

т.е. это величина порядка нескольких процентов (можно заметить , что

если поменять среды местами - т.е. рассматривать падение из воды в

воздух , то это значение не изменится)

В случае падения из оптически менее плотной среды в оптически более

плотную при[pic]:

[pic] [pic]

Действительно, преломленной волны при скользящем падении не

образуется и интенсивность падающей волны не

меняется.

В случае падения из оптически более плотной среды в оптически менее

плотную , необходимо учесть явление полного внутреннего отражения ,

когда прошедшей волны нет - вся волна отражается от поверхности

раздела. Это происходит при значениях [pic] больших , чем [pic],

вычисляемого следующим образом:

[pic][1]

Для падения из стекла в воздух [pic]

Здесь не рассматривается полное внутреннее отражение , поэтому [pic] в

случае падения из оптически более плотной среды в оптически менее

плотную изменяется до [pic], в этом случае:

[pic] [pic]

Далее исследуем поведение этих функций между крайними точками , для

этого исследуем на монотонность функции: [pic] и [pic]

Нам понадобится производная [pic], найдем ее как производную функции ,

заданной неявно :

[pic]

[pic]Знак этой производной ( поскольку [pic] , [pic]) зависит только

от знака выражения [pic] , это выражение > 0 , когда [pic] (то есть

падение из оптически мене плотной среды в оптически более плотную ) и

0 при [pic] и 0 , но эта функция проходит через

нуль. Поскольку числитель , при рассматриваемых пределах изменения

[pic] в 0 обращаться не может[2] это происходит тогда , когда

знаменатель обращается в бесконечность т.е.:

[pic]

Это есть угол Брюстера ([pic]) , при котором [pic] обращается в 0 , то

есть отраженная волна отсутствует . Для случая падения из воздуха в

стекло [pic], для обратного случая (из стекла в воздух) [pic]При

переходе через этот угол [pic] меняет знак на минус , следовательно

[pic] как квадрат этой функции сначала убывает (до нуля) , а затем

возрастает (до 1).

При [pic] для небольших[pic][pic]1 больше 0 при [pic] и меньше 0 при [pic], при n<0 промежутки

знакопостоянства меняются местами . Таким образом , в случае падения из

менее оптически плотной среды в более плотную сдвиг фаз на[pic] в

отраженной p-волне наблюдается при [pic] , а в случае падения из более

плотной в менее плотную - при[pic].

В случае отраженной s-волны [pic] , эта функция меньше 0 при [pic] и

больше 0 в противном случае. Таким образом , сдвиг фаз на[pic] в

отраженной s-волне наблюдается при падении из менее оптически плотной

среды в более плотную , и не наблюдается при падении из более плотной

среды в менее плотную.

В случае произвольно падающей линейно поляризованной волны , которая

представляется в виде суммы p и s-волн , в отраженной волне , таким

образом , можно получить , в общем случае волну произвольной

(эллиптической) поляризации .

Для исследования сдвига фаз в прошедшей волне , воспользуемся

соотношениями , возникшими как промежуточные результаты при выводе (7)

и (10) :

[pic] и [pic]

из этих соотношений видно , что , поскольку [pic] и [pic] , то всегда

[pic]и [pic] . То есть , в прошедшей волне изменения фазы не происходит

(причем это верно для волн произвольной поляризации).

Дополнительная литература:

Cивухин Д.В. “Общий курс физики. Оптика” , Москва , “Наука”,1985г.

Савельев И.В. “Курс общей физики” , том 2 , Москва , “Наука” , 1979г.

-----------------------

[1] -здесь под n понимается показатель преломления той среды , куда падает

луч относительно той , откуда он падает , в оптике в этом случае под n

понимают показатель преломления оптически более плотной среды относительно

оптически менее плотной , т.е. в этом случае в этой формуле стоит [pic]

[2]-- числитель также не может обращаться в бесконечность , поскольку это

возможно только в случае [pic] , но в этом случае [pic] , а это невозможно

т.к. [pic] и [pic]


реферат бесплатно, курсовые работы
НОВОСТИ реферат бесплатно, курсовые работы
реферат бесплатно, курсовые работы
ВХОД реферат бесплатно, курсовые работы
Логин:
Пароль:
регистрация
забыли пароль?

реферат бесплатно, курсовые работы    
реферат бесплатно, курсовые работы
ТЕГИ реферат бесплатно, курсовые работы

Рефераты бесплатно, реферат бесплатно, курсовые работы, реферат, доклады, рефераты, рефераты скачать, рефераты на тему, сочинения, курсовые, дипломы, научные работы и многое другое.


Copyright © 2012 г.
При использовании материалов - ссылка на сайт обязательна.