Хаос, необратимость времени и брюссельская интерпретация квантовой механики

уравнением Лиувилля, которое следует из классической гамильтоновой

динамики. В операторной записи оно имеет вид

[pic]

при этом явный вид оператора Лиувилля L может быть выведен из

гамильтониана. Следует отметить, что, как и операторы квантовой механики,

оператор Лиувилля эрмитов.

Теория ансамблей Гиббса обобщается на случай квантовой теории с той лишь

разницей, что в квантовой теории гильбертово пространство содержит лишь

половину переменных, входящих в классическое описание. Место плотности

вероятности занимает матрица плотности [pic], эволюция её во времени

описывается уравнением Лиувилля–фон Неймана [pic]. Так как новый оператор

Лиувилля действует не на волновые функции, а на матрицу плотности, которая

сама по себе оператор, L обычно называют супероператором. Оператор L –

эрмитов, а пространство матриц плотности – гильбертово. [5] Использование

операторного формализма позволяет в статистической механике применять к

классическим системам методы, разработанные для квантовых систем:

определение собственных функций и собственных значений для оператора

Лиувилля.

Как и в квантовой механике, мы можем рассмотреть задачу на собственные

значения: [pic]При этом, поскольку L – эрмитов оператор, его собственные

значения ln действительны. Кроме того, из функций | j n > можно составить

полную ортонормированную систему, по которой раскладывается любая функция

распределения: [pic].

Эволюция же распределения во времени определяется соотношением

r (t) =U(t) r (0) =e–iLtr (0) .

Как и в квантовой механике, U(t) – унитарный оператор, и поэтому

[pic].

Таким образом, распределение вероятности разлагается в сумму независимо

развивающихся во времени мод, каждая из которых входит с весом cn,

постоянным во времени. Поскольку собственные значения вещественны, каждая

мода "вращается" в фазовом пространстве. Единственное отличие от квантовой

механики состоит в том, что в данном случае каждая мода вносит свой вклад

непосредственно в вероятность r, а не в амплитуду вероятности y, как в

квантовой механике.

Проблема состоит в том, что решение уравнения Лиувилля для матрицы

плотности в гильбертовом пространстве не описывает приближения к равновесию

[1, с. 166].

Мы сталкиваемся здесь с основной трудностью теории необратимых процессов.

Вращение по фазе сохраняет симметрию во времени. Чтобы получить нарушение

симметрии во времени, было бы необходимо иметь комплексные собственные

значения ln = ln' + iln'', тогда exp(–ilnt) =exp(–iln't) exp(–ln''t) , и

второй множитель порождает экспоненциальное затухание. Но это невозможно,

поскольку мы имеем дело с эрмитовым оператором и используем формализм

гильбертова пространства.

Одна из возможностей, к принятию которой склоняются многие авторы, состоит

в утверждении, что поскольку уравнение Лиувилля обратимо во времени,

необратимость возникает в результате грубой зернистости, то есть

приближённого описания. Но на микроскопическом уровне мы снова возвращаемся

к парадоксу времени. Решить его можно только двумя способами: выбрать в

качестве исходных новые уравнения движения, с самого начала содержащие

необратимость, или отказаться от гильбертова пространства. Концепция

Пригожина реализует вторую возможность.

Для интегрируемых классических систем решение задачи на собственные

значения оператора L приводит к траекториям. В квантовой теории ансамблей

ситуация аналогична. Если задача на собственные значения для гамильтониана

H решена, то мы можем решить её и для L и представить решение в терминах

волновых функций. Для квантовых систем с дискретным спектром никаких

трудностей при этом не возникает, но при переходе к большим системам

Пуанкаре (с непрерывным спектром и непрерывными множествами резонансов) не

существует уже конструктивного метода решения задачи ни для H, ни для L [1,

с. 164].

Отличие статистического описания, даваемого школой Пригожина, от

классического эйнштейновско-гиббсовского именно в том, что оно несводимо.

Оно неприменимо к отдельной траектории. Это утверждение представляет собой

строгий математический результат, полученный в результате применения к

анализу хаоса методов современного функционального анализа. Кроме того, в

таком необратимом вероятностном описании прошлое и будущее играют различные

роли. Хаос приводит к включению стрелы времени в фундаментальное

динамическое описание.

Легко показать, что хаос, определяемый как обычно, приводит к несводимому

вероятностному описанию. Пригожин обращает это утверждение и выдвигает

новое определение: все системы, допускающие несводимое вероятностное

описание, по определению считаются хаотическими [1, с. 9].

3. БРЮССЕЛЬСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ

[pic]Э. Шрёдингер

3.1 Альтернативные интерпретации квантовой механики

Вероятно, квантовая механика – одна из немногих, если не единственная

работающая физическая теория, по поводу интерпретации которой на

фундаментальном уровне до сих пор ведутся содержательные споры. Данная

работа посвящена краткому изложению позиции и следствий только одной из

интерпретаций, однако автору кажется невозможным при этом не упомянуть

самые распространённые альтернативные интерпретации. (Более подробно – см.

[2]) .

Наиболее известны следующие подходы к квантовой механике: – копенгагенская

интерпретация; – статистическая интерпретация; – "неоклассические"

интерпретации со скрытыми параметрами; – многомировая интерпретация; –

брюссельская интерпретация, развиваемая школой Пригожина.

Остановимся вкратце на каждой из этих интерпретаций.

а) Копенгагенская интерпретация является наиболее распространённой, но в то

же время представляет (в силу исторических причин) собой скорее конгломерат

различных подходов, нежели монолитную концепцию. Двумя важнейшими

принципами являются общефилософский принцип дополнительности Бора и

постулат редукции волнового пакета.

Принцип дополнительности первоначально возник как истолкование соотношения

неопределённостей Гейзенберга. В дальнейшем Бор развил этот принцип как

общенаучный и призывал к его применению в биологии, психологии и

гуманитарных науках. Содержание его примерно таково: никакая классически

непротиворечивая система понятий не может описать реальность, всегда

существуют различные, взаимоисключающие и взаимодополняющие подходы, каждый

из которых отрицает другой. Только совместное рассмотрение этих описаний

может дать нам полную картину происходящих в мире событий.

Постулат редукции волнового пакета описывает процесс наблюдения квантовой

системы внешним наблюдателем и утверждает, что в таком процессе происходит

переход волновой функции квантового объекта в одно из собственных состояний

– то есть система переходит из смешанного состояния в чистое, и переход

этот необратим. Собственно, в копенгагенской интерпретации этот постулат и

является тем "примечанием", вносящем необратимость времени (см. раздел 2.1)

в теорию. С постулатом редукции волнового пакета связано много дискуссий и

парадоксов. Копенгагенская интерпретация квантовой механики неоднократно

подвергалась критике за необходимость присутствия в ней наряду с квантовыми

объектами сугубо классического внешнего наблюдателя.

б) Статистическая интерпретация, или интерпретация статистических

ансамблей, основана на предположении, что волновая функция квантовой

системы описывает не индивидуальный объект, а ансамбль одинаковым образом

приготовленных объектов. При этом признаётся фундаментальный характер

вероятностных предсказаний в квантовой механике, и в этом смысле квантово-

механическое описание реальности считается полным. Вероятности того или

иного результата естественным образом даётся относительно-частотное

толкование. С точки зрения статистической интерпретации квантовая механика

вообще не описывает индивидуальные квантовые объекты.

Нужно заметить, что в рамках статистической интерпретации вводится постулат

о том, что в процессе измерения макроприбор выделяет из статистического

ансамбля некоторый подансамбль, соответствующий данному результату

измерения. Этот постулат фактически занимает место постулата редукции в

копенгагенской интерпретации.

в) Неоклассические интерпретации квантовой механики исходят из того, что

квантово-механическое описание в действительности не является полным.

Следовательно, должна существовать более общая теория, обеспечивающая

наличие детерминизма классического образца. По отношению к такой теории

квантовая механика была бы некоторым статистическим приближением. Наиболее

распространены неоклассические теории со скрытыми параметрами. В них

предполагается, что волновая функция Ѕ y > не полностью определяет

состояние системы. Наряду с ней существуют скрытые параметры x, такие, что

их точное знание могло бы дать возможность предсказания результатов

измерения любой физической величины. При этом сами параметры являются

статистически распределёнными по некоторому закону, и мы не можем на

практике точно определить значение x. Поэтому сохраняются все следствия

квантовой механики, в том числе невозможность одновременного точного

измерения некоммутирующих величин. Принципиальным в такой неоклассической

интерпретации является факт, что существует описание состояния системы (Ѕ y

>, x) , позволяющее избежать недетерминированности в предсказании

результатов измерений.

Вопрос об обратимости времени в интерпретации со скрытыми параметрами не

является ключевым, и остаётся столь же открытым, сколь и в копенгагенской

интерпретации (особенно если из последней "удалось бы изъять" принцип

редукции волновой функции) .

г) Многомировая интерпретация квантовой механики (концепция Эверетта)

исходит из принципа реальности волновой функции. При этом постулируется,

что существует такая функция сразу для всей Вселенной, и нет необходимости

в мистическом "внешнем наблюдателе", отвечающем, например, за квантовые

эффекты в момент её рождения. В многомировой интерпретации место постулата

редукции волнового пакета занимает понятие "ветвления волновой функции

Вселенной", которое можно толковать либо образно – как появление

"параллельных квантовых миров", либо чисто математически, как процедуру

дефакторизации волновой функции наблюдаемого объекта [2, с. 29]. При этом

возникают свои математические тонкости, связанные с предпочтительным

выбором базиса собственных состояний для каждого объекта во Вселенной,

исключающего "лишние" ветвления для не наблюдающихся в конкретном

эксперименте объектов (своеобразное применение хорошо известной "бритвы

Оккама") .

Наконец, брюссельская интерпретация ограничивает применимость чистых

состояний (то есть точек в фазовом пространстве классической механики и

волновых функций в квантовой механике) введением некоего нового принципа,

который можно назвать "микроскопическим вторым началом термодинамики". При

этом отвергается представление как о реальности волновой функции в старом

смысле этого слова, так и о "классическом идеале" – в пользу новой

концепции, в основе которой лежит необратимость времени.

3.2 Неунитарная эволюция и несводимое описание

Необратимость, выражаемая стрелой времени – свойство статистическое. Она не

может быть введена на уровне отдельных траекторий (или волновых функций) и

поэтому требует радиального отхода от ньютоновской механики или

ортодоксальной квантовой механики, в основе которых лежат понятия

траектории или отдельной волновой функции. Ещё Больцман понял, что

необходим подход на основе ансамблей. Школа Пригожина реализует эту

программу с необходимой математической строгостью.

Неустойчивость и хаос вынуждают отказаться от описания классической

механики в терминах траекторий и перейти к описанию в терминах

распределения вероятности. Примером может служить рассмотренное ранее

отображение сдвига Бернулли. В разделе 1.1 был приведён явный вид оператора

с дискретным временем, описывающего эволюцию плотности вероятности для

сдвига Бернулли (применительно к отображениям подобный оператор называется

оператором Перрона–Фробениуса) . В статистической механике оператор

эволюции имеет вид U(t) = e–iLt, а в квантовой механике U(t) = e–iHt. Два

последних оператора унитарны, то есть сохраняют скалярное произведение, и в

гильбертовом пространстве имеют собственные значения, по модулю равные 1 –

то есть приводят к периодическим функциям от времени типа exp(–iEnt) . В

отличие от них оператор эволюции хаотических систем должен описывать

приближение к равновесию и, следовательно, содержать время релаксации. Для

этого требуются комплексные спектральные представления.

Оказалось, что для сдвига Бернулли в гильбертовом пространстве

спектрального разложения отображения не существует. Собственные функции

этого оператора не удовлетворяют условию квадратичной интегрируемости,

поэтому вместо гильбертова пространства требуется перейти к так называемому

обобщённому пространству, включающему наряду с квадратично интегрируемыми

функциями, например, ещё и d -функции типа дираковской. Собственные

значения для построенных в этом пространстве собственных функций

оказываются напрямую связанными с временем Ляпунова в хаотической системе.

На языке распределений вероятности отдельная траектория для сдвига Бернулли

представляется функцией r n=d (x–xn) , сдвиг Бернулли преобразует её в r

n+1=d (x–xn+1) = d (x–2xn) при xn = ) . Нетрудно показать, что он имеет вид: [pic]Можно также

показать, что оператор U+ – изометрический, то есть сохраняет скалярное

произведение (однако в отличие от унитарного изометрический оператор не

допускает обратного, из чего следует, что сдвиг Бернулли – не обратимое

отображение) . Задача на собственные значения U+f(x) =l f(x) не имеет

других решений в классе непрерывных функций, кроме постоянной. Таким

образом, сдвиг Бернулли не имеет спектрального представления в гильбертовом

пространстве. Однако U+ имеет собственные функции и собственные значения в

обобщённых пространствах. Например:

U+[d (x–1) –d (x) ]=1/2 [d (x–1) –d (x) ],

следовательно, мы имеем собственную функцию оператора U+, которая

принадлежит к классу обобщённых функций и имеет такое же собственное

значение, какое первый многочлен Бернулли имеет для оператора U. Обозначим

поэтому найденную функцию B(1) (x) .

Существует целое семейство обобщенных функций B(n) (x) , которые являются

собственными функциями оператора U+ и соответствуют собственным значениям

1/2n. Эти функции не имеют конечной нормы, что вынуждает к переходу в

обобщённое пространство. Их семейство, однако, обладает свойствами

ортогональности и полноты.

Таким образом, как и в квантовой механике, мы можем разложить вероятность r

(x) по биортонормированному семейству функций: [pic].

Распространяя скалярное произведение на обобщённые функции, необходимо

сделать некоторые существенные замечания. Основное свойство d -функции

состоит в том, что при интегрировании с обычной непрерывной функции она

"вырезает" её значение в точке x=x0. Для корректности скалярного

произведения , где f – обобщённая функция, необходимо, чтобы g была

подходящей функцией, обеспечивающей сходимость скалярного произведения.

Она, очевидно, не должна принимать бесконечных значений – во всяком случае,

в точке x=x0. Назовём такие функции пробными.

Мы можем определить действие оператора A на обобщённую функцию f с помощью

соотношения = – но такое соотношение вполне определено только

при том условии, что A+g остаётся пробной функцией. Задача на собственные

значения A|f> = l |f> также имеет смысл только в том случае, если

пользоваться пробными функциями g такими, что = l .

Возвращаясь к спектральному представлению эволюции при сдвиге Бернулли,

делаем вывод: так как B(n) – обобщённые функции, r (x) должна быть пробной

функцией, так как в противном случае ей бы соответствовала d -функция, для

которой скалярное произведение с B(n) расходится.

Спектральные теории Пригожина применимы только для ансамблей траекторий –

это фундаментальный результат. Для хаотических систем, а сдвиг Бернулли –

простейший из примеров таких систем, вероятностное описание следует строить

не в гильбертовом, а в обобщённом пространстве, и оно несводимо. В этом –

принципиальное отличие брюссельского подхода от подхода на основе теории

ансамблей Гиббса–Эйнштейна: их описание было сводимо, поскольку могло быть

разложено на описания отдельных траекторий.

Мы подходим к важному вопросу: что означает действие оператора эволюции

U(t) на обобщённую функцию? Это соотношение имеет вполне определённый

смысл, если U+(t) g остаётся пробной функцией. Для хаотических систем это

условие, как правило, не выполняется и при t>0, и при t<0. Пробные функции

для прошлого отличаются от пробных функций для будущего. Этот факт приводит

к нарушению симметрии во времени и лежит в основе решения парадокса

времени, предлагаемого брюссельской школой.

Рассмотренное выше отображение пекаря также допускает спектральное

представление в гильбертовом пространстве, однако собственные значения его

оператора Перрона–Фробениуса не имеют при этом отношения к времени Ляпунова

– таким образом, хаотические свойства остаются "за кадром". Оказывается всё-

таки, что некоторые хаотические системы – и преобразование пекаря в

частности – допускают дополнительные спектральные представления. Помимо

спектрального представления оператора эволюции в гильбертовом пространстве

можно построить новое представление в обобщённом гильбертовом пространстве,

которое связывает эволюцию во времени с временем Ляпунова.

Может возникнуть вопрос – так какое же представление правильное? С

математической точки зрения они оба вполне корректны. Однако комплексные

представления в обобщённом пространстве позволяют продвинуться значительно

дальше, так как включают в спектр оператора эволюции время Ляпунова,

которое характеризует временной горизонт хаотических систем. Новые

представления позволяют описывать приближение к равновесию, явно описывают

нарушение симметрии во времени и включают необратимость на фундаментальном

уровне описания.

Весьма важно, что новые представления несводимы. Неоднократно утверждалось,

что хаос, связанный с чувствительностью к начальным условиям, приводит к

"невычислимым" траекториям. Казалось, что это чисто техническая трудность.

Как теперь понятно, причина гораздо более глубокая. Существует своего рода

соотношение дополнительности в боровском смысле между необратимостью на

уровне статистических ансамблей, с одной стороны, и траекторий – с другой.

На простейших хаотических примерах мы проиллюстрировали, как в концепции

Пригожина возникает необходимость несводимого описания и как в этом

несводимом описании проявляется стрела времени. Обратимся теперь к выводам,

которые аналогичный подход даёт в квантовой теории (объём настоящей работы

не позволяет подробно описать математические особенности применения этого

подхода) . Приведём только один пример.

В операторе эволюции U(t) =e–iHt будущее и прошлое играют одну и ту же

роль, так как независимо от того, какие знаки имеют t1 и t2 выполняется

свойство U(t1+t2) = U(t1) + U(t2) . Принято говорить, что оператор эволюции

U(t) образует динамическую группу. Пробные функции же принадлежат двум

различным классам в зависимости от того, какую эволюцию – прямую (в

будущее) или обратную (в прошлое) – мы рассматриваем. Это означает, что

динамическая группа, порождаемая оператором эволюции U(t) , распадается на

две полугруппы – одну для оператора U(+t) , другую – для U(–t) .

Введение стрелы времени позволяет сделать шаг вперёд в рассмотрении уже

упоминавшихся больших систем Пуанкаре – например, в задаче рассеяния.

Возникающие в теории возмущений малые знаменатели вида [pic]регуляризуются

введением малой мнимой добавки: [pic]при e ® 0 . Это устраняет расходимость

– но такая добавка есть не что иное, как введение хронологического

упорядочения на микроскопическом уровне! В результате симметричное во

времени уравнение Шрёдингера порождает два класса решений, одно из которых

соответствует прямому. а другое – обратному рассеянию. Решение уравнений

обладает меньшей симметрией, чем уравнения движения.

Аналогичный подход в квантовой статистической теории – решение задачи на

собственные значения супероператора Лиувилля – также приводит к

необходимости мнимой добавки в знаменатель, и собственные функции

супероператора Лиувилля перестают быть произведениями волновых функций.

Получающиеся уравнения Лиувилля–фон Неймана не могут быть выведены из

уравнения Шрёдингера. В этом смысле концепция Пригожина приводит к

альтернативной квантовой теории.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В концепции И. Пригожина необратимость процессов во времени вводится на

микроскопическом уровне. В квантовой теории это достигается рассмотрением

пространства обобщённых функций вместо обычного гильбертова пространства,

при этом оператор эволюции системы перестаёт быть унитарным, а его

собственные значения становятся комплексными. Мнимая часть этих собственных

значений после подстановки в уравнение Шрёдингера отвечает за затухание,

что соответствует необратимости времени.

Другая важная черта квантовой теории в концепции Пригожина – принципиальная

несводимость получаемых решений к волновым функциям отдельных частиц.

Статистическое описание с использованием матрицы плотности становится

необходимым с самого начала, мы больше не можем рассуждать иначе, как в

терминах ансамблей.

В отличие от копенгагенской интерпретации квантовой механики, не требуется

постулата о редукции волнового пакета и существования внешнего наблюдателя

с классическим прибором. В этом есть некоторое сходство с многомировой

интерпретацией Эверетта, так как можно вводить понятие волновой функции

Вселенной. Однако, математический аппарат теории Пригожина не требует

введения процесса дефакторизации волновой функции и сложных процедур выбора

базиса, связанного с объектом.

Введение вероятностей в концепции Пригожина вполне совместимо с физическим

реализмом, и его не требуется объяснять неполнотой нашего знания.

Наблюдатель более не играет активной роли в эволюции природы – по крайней

мере, играет роль не большую, чем в классической физике. Эта роль крайне

далека от роли демиурга, которой копенгагенская интерпретация квантовой

физики наделяет наблюдателей, считая их ответственными за переход от

потенциальной возможности природы к актуальности.

Самым же, вероятно, важным, является то, что одна и та же математическая

структура, включающая в себя хаос, позволяет решить и парадокс времени, и

квантовый парадокс – две проблемы, которые омрачали горизонты физики на

протяжении многих-многих лет.

ЛИТЕРАТУРА

1. Пригожин И., Стенгерс И. Время, хаос, квант – М.: Прогресс, 1994

2. Барвинский А. О., Каменщик А. Ю., Пономарёв В. Н. Фундаментальные

проблемы интерпретации квантовой механики. Современный подход – М.:

Изд-во МГПИ, 1988

3. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Т. 1, Механика – М.:

Наука, 1988

4. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Т. 3, Квантовая

механика. Нерелятивистская теория – М.: Наука, 1990

5. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Т. 5, Статистическая

физика. Часть 1 – М.: Наука, 1988

6. Эйнштейн А. Собрание сочинений в четырёх томах, т. 3 – ст. Испускание

и поглощение излучения по квантовой теории – М.: Наука, 1966

Страницы: 1, 2, 3