Специфика физики микрообъектов

В теории Бора n-му стационарному состоянию атома водорода соответствует

круговая орбита радиуса rn, по которой электрон движется вокруг ядра. Для

вычисления rn Бор предложил воспользоваться, во-первых, вторым законом

Ньютона для заряда, движущегося по окружности под действием кулоновской

силы:

mvn2 / rn = е2 / rn2

(здесь m и e – масса и заряд электрона, vn – скорость электрона на n-й

орбите), и, во-вторых, условием квантования момента импульса электрона

mvnrn = nh.

Используя эти соотношения, легко найти rn и vn :

rn = h2n2 / me2, vn = e2 / hn.

Энергия Еn стационарного состояния состоит из кинетического (Тn) и

потенциального (Un) слагаемых: Еn = Тn + Un. Полагая, что Тn = mvn2 /2,

Un = = - е2 / rn и используя последние формулы, находим

Еn = - me4 / 2h2n2.

Отрицательность энергии означает, что электрон находится в связанном

состоянии (за нуль принимается энергия свободного электрона).

Подставив полученный результат в правило частот и сопоставив полученное

при этом выражение с формулой щn = 2рcR( 1/k2 - 1/n2), можно, следуя Бору,

найти выражение для постоянной Ридберга:

R = me4 / 4рch3.

Теория Бора (или, как теперь принято говорить, «старая квантовая теория»)

страдала внутренними противоречиями; так, для определения радиуса орбиты

приходилось пользоваться соотношениями совершенно разной природы –

«классической» и «квантовой». Тем не менее эта теория имела большое

значение как первый шаг в создании последовательной квантовой теории. При

этом впервые удалось объяснить природу спектральных термов (а

следовательно, и комбинационного принципа Ритца) и получить расчетное

значение постоянной Ридберга, которая соответствовала своему эмпирическому

значению. Успехи теории говорили о плодотворности идеи квантования.

Познакомившись с расчетами Бора, Зоммерфельд написал ему письмо, где в

частности писал: «Благодарю Вас за Вашу чрезвычайно интересную работу. Меня

давно занимает проблема выражения постоянной Ридберга при помощи величины

Планка. Хотя в данный момент я еще скептически отношусь к моделям атомов в

целом, тем не менее вычисление этой постоянной, бесспорно, является

настоящим подвигом.»

О квантовании момента импульса. Заметим, что в отличие от энергии момент

импульса микрообъекта квантуется всегда. Так, наблюдаемые значения квадрата

момента импульса микрообъекта выражаются формулой

M2 = h2l (l + 1),

где l – целые числа 0, 1, 2, ... Если речь о моменте импульса электрона в

атоме в n-м стационарном состоянии, то число l принимает значения от нуля

до n-1.

В литературе принято называть момент импульса микрообъекта для краткости

просто моментом.

Проекция момента микрообъекта на некоторое направление (обозначим его как

z-направление) принимает значения

Mz = hm,

где m=-l, -l+1, ..., l-1, l. При данном значении числа l число m принимает

2l+1 дискретных значений. Подчеркнем, что различные проекции момента

микрообъекта на одно и тоже направление всегда отличаются друг от друга на

величины, кратные постоянной Планка.

Выше уже отмечалось, что спин есть своеобразный, «внутренний» момент

микрообъекта, имеющий для данного микрообъекта определенную величину. В

отличие от спинового момента, обычный момент принято называть орбитальным.

Кинематически спиновой момент аналогичен орбитальному; естественно, что для

нахождения возможных проекций спинового момента надо пользоваться формулой

типа Mz = hm (как и в случае орбитального момента, проекции спинового

момента отличаются друг от друга на величины, кратные постоянной Планка).

Если s – спин микрообъекта, то проекция спинового момента принимает

значение hу, где у = -s, -s+1, ..., s-1, s. Так, проекция спина электрона

принимает значения -h/2 и h/2.

Рассматриваемые здесь числа n, l, m, у, фиксирующие различные дискретные

значения квантующихся динамических переменных (в данном случае энергии и

момента), принято называть квантовыми числами. Конкретно: n – так

называемое главное квантовое число, l – орбитальное квантовое число, m –

магнитное квантовое число, у – спиновое квантовое число. Существуют и

другие квантовые числа.

Противоречия квантовых переходов. Несмотря на большой успех теории Бора,

идея квантования порождала первоначально серьезные сомнения; было

подмечено, что эта идея внутренне противоречива. Так, в письме к Бору

Резерфорд писал (в 1913 г.): «Ваши мысли относительно причин возникновения

спектра водорода очень остроумны и представляются хорошо продуманными.

Однако сочетание идей Планка со старой механикой создает значительные

трудности для понимания того, что же все-таки является основой такого

рассмотрения. Я обнаружил серьезное затруднение в связи с Вашей гипотезой,

в котором Вы, без сомнения, полностью отдаете себе отчет. Оно состоит в

следующем: как может электрон знать, с какой частотой он должен колебаться,

переходя из одного стационарного состояние в другое? Мне кажется, что Вы

вынуждены предположить, что электрон знает заблаговременно, где он

собирается остановится».

Поясним отмеченную Резерфордом трудность. Пусть электрон находится на

уровне Е1 (рис.1); чтобы перейти на уровень Е2, электрон должен поглотить

квант излучения (т.е. фотон) с определенной энергией, равной Е2-Е1.

Поглощение фотона с любой другой энергией не может приводить к указанному

переходу и по этой причине оказывается невозможным (для простоты

рассматриваем только два уровня). Возникает вопрос: каким же образом

электрон производит «выбор» «нужного» фотона из падающего потока фотона

разной энергии? Ведь, чтобы «выбрать» «нужный» фотон, электрон должен уже

«знать» о втором уровне, т.е. должен как бы уже побывать на нем. Однако,

чтобы побывать на втором уровне, электрон должен сначала поглотить «нужный»

фотон. Возникает замкнутый круг.

Дополнительные противоречие обнаруживаются при рассмотрении скачка

электрона с одной орбиты в атоме на другую. Сколь бы ни был быстр переход

электрона с орбиты одного радиуса на орбиту другого радиуса, в любом случае

он должен происходить в течении конечного промежутка времени. Но тогда

непонятно, чему должна равняться энергия электрона в течении этого

промежутка времени – ведь электрон уже не находится на орбите, которая

отвечает энергии Е1, и в то же время еще не прибыл на орбиту, которая

отвечает энергии Е2.

Неудивительно, что в свое время предпринимались попытки получить

объяснение экспериментальных результатов без привлечения идеи квантования.

В этом смысле показательно известное замечание Шредингера, вырвавшееся у

него, что называется, под горячую руку: «Если мы собираемся сохранить эти

проклятые квантовые скачки, то я жалею, что вообще имел дело с квантовой

теорией!» Однако опыт свидетельствовал в пользу квантования; ни для какой

альтернативы не оставалось места.

В подобной ситуации есть один выход: надо ввести какие-то новые идеи,

которые вместе с идеей дискретности образовывали бы непротиворечивую схему.

Такой новой физической идеей и явилась идея корпускулярно-волнового

дуализма.

Идея корпускулярно-волнового дуализма. Классическая физика знакомит с

двумя видами движения – корпускулярным и волновым. Для первого характерны

локализация объекта в пространстве и существование определенной траектории

его движения. Для второго характерно, напротив, делокализация в

пространстве; с волновым движением не сопоставляет никакого локализованного

объекта – это есть движение некоей среды. На уровне макроявлений

корпускулярное и волновое движение четко разграничены; одно дело – движение

брошенного камня, другое – движение волны, набегающей на прибрежный песок.

Эти привычные представления не могут быть перенесены в квантовую

механику. На уровне микроявлений указанное выше четкое разграничение между

двумя видами движения в существенной мере стирается – движение микрообъекта

характеризуется одновременно и волновыми и корпускулярными свойствами. Если

схематически рассматривать классические корпускулы и классические волны как

два предельных случая описания движения материи, то микрообъекты должны

занять в этой схеме место где-то посередине. Они не являются ни «чистыми»

(в классическом понимании) корпускулами, ни «чистыми» волнами – они

являются чем-то качественно иным. Можно сказать, что микрообъект в какой-то

мере похож на корпускулу, в какой-то мере – на волну, причем эта мера

зависит, в частности, от условий, в которых рассматривается микрообъект.

Если в классической физике корпускула и волна – две взаимоисключающие друг

друга противоположности (либо частица, либо волна), то теперь, на уровне

микроявлений, эти противоположности объединяются в рамках единого

микрообъекта. Это обстоятельство и принято называть корпускулярно-волновым

дуализмом («дуализм» означает двойственность).

Первоначально идея дуализма была применена к электромагнитному излучению.

Еще в 1917г. Эйнштейн предложил рассматривать введенные Планком кванты

излучения как своеобразные частицы, обладающие не только определенной

энергией, но и определенным импульсом:

E = hщ, p = hщ / c.

Позднее (с 1923 г.) эти частицы стали называть фотонами.

Весьма ярко корпускулярные свойства излучения проявились в эффекте

Комптона (1923 г.). Пусть пучок рентгеновских лучей рассеивается на атомах

вещества. По классическим представлениям рассеянные лучи должны иметь ту же

длину волны, что и падающие. Однако опыт показал, что длина волны

рассеянных лучей больше начальной длины волны, причем разница в длинах волн

зависит от угла рассеяния. Эффект Комптона получил объяснение в

предположении, что пучок рентгеновских лучей ведет себя как поток фотонов,

которые испытывают упругие столкновения с электронами атомов, с выполнением

закона сохранения энергии и импульса для сталкивающихся частиц. При этом

достигалось не только качественное, но и количественное согласие с

экспериментом.

В 1924 г. де Бройль предложил распространить идею не только на излучение,

но и вообще на все микрообъекты. Конкретно, он предложил с каждым

микрообъектом связывать, с одной стороны, корпускулярные характеристики

(энергию Е и импульс р.), а с другой стороны, волновые характеристики

(частоту щ и длину волны л). Взаимосвязь между характеристиками разного

типа осуществляются, по де Бройлю, через постоянную Планка h следующим

образом:

E = hщ, p = 2рh / л

(второе из этих соотношений известно как формула де Бройля). Для фотонов

эти соотношения выполняются автоматически, если в формуле p = hщ / c

подставить щ = =2рc / л. Смелость гипотезы де Бройля состояла в том, что

приведенные соотношения предполагались выполняющимися для всех

микрообъектов, в частности для таких, у которых есть масса покоя и которые

до этого ассоциировались с корпускулами.

Гипотеза де Бройля получила в 1927 г. подтверждение: была обнаружена

дифракция электронов. Исследуя прохождение электронов сквозь тонкие

пластинки, Дэвисон и Джермер (а также Тартаковский) обнаружили на экране

-детекторе характерные дифракционные кольца. Для «электронных» волн

кристаллическая решетка мишени сыграла роль дифракционной решетки.

Измерение расстояний между дифракционными кольцами для электронов заданной

энергии подтвердили формулу де Бройля.

В 1949 г. Фабрикант с сотрудниками поставили интересный опыт. Они

пропускали через дифракционное устройство крайне слабый электрический пучок

– промежуток времени между последовательными актами пропускания (между

двумя электронами) более чем в 10000 раз превышал время, необходимое для

прохождения электрона через устройство. Это давало уверенность, что на

поведение электрона не влияют другие электроны пучка. Опыт показал, что при

длительной экспозиции, позволяющей зарегистрировать на экране-детекторе

достаточно большое число электронов, возникала такая же дифракционная

картина, как и в случае обычных электронных пучков. Отсюда следовало, что

волновые свойства электронов нельзя объяснить как некий эффект коллектива

электронов; волновыми свойствами обладает каждый отдельно взятый электрон.

Роль постоянной Планка. Идея квантования вводит дискретность, а

дискретность требует определения меры. Роль такой меры играет постоянная

Планка. Можно сказать, что эта постоянная как бы определяет «границу» между

микроявлениями и макроявлениями. Используя постоянную Планка, а также массу

и заряд электрона, можно образовать следующую простейшую композицию,

обладающую размерностью длины:

r1 = h2 / me2 = 0,53 . 10-8 см

(заметим, что r1 есть радиус первой орбиты в теории Бора). В соответствии с

этим величина порядка 10-8 см может рассматриваться как пространственная

«граница» микроявлений. Именно таковы линейные размеры атомов.

Если бы при прочих равных условиях постоянная h была бы, например, в 100

раз больше, то «граница» микроявлений оказалась бы порядка 10-4 см. Это

означало бы, что микроявления были бы гораздо ближе к нам, к нашим

масштабам, атомы стали заметно крупнее. Иными словами, материя оказалась бы

более «крупнозернистой» и следовало бы при более крупных масштабах

пересматривать классические представления.

Как указывалось ранее, проекции момента микрообъекта отличаются друг от

друга на величины, кратные h. Следовательно, здесь постоянная Планка

является попросту шагом квантования. Если орбитальный момент много больше

h, то квантованием можно пренебречь; в этом случае переходим к

классическому моменту импульса. В отличие от орбитального спиновой момент

не может быть достаточно большим. Ясно, что здесь квантованием пренебречь

принципиально невозможно; именно поэтому спиновой момент и не имеет

классического аналога.

Постоянная Планка органически связана не только с идеей квантования, но

также и с идеей дуализма. Из формул E = hщ, p = 2рh / л видно, что эта

постоянная играет весьма важную роль – именно она осуществляет связь между

корпускулярными и волновыми характеристиками микрообъекта. Указанное

обстоятельство особенно хорошо видно, если переписать эти формулы в виде,

позволяющем учесть векторную природу импульса:

E = hщ, p = hk.

Здесь k – волновой вектор; его направление совпадает с направлением

распространения волны, а величина выражается через длину волны следующим

образом: k = 2р / л. В левые части равенств входят корпускулярные, а в

правые – волновые характеристики микрообъекта.

Итак, постоянная Планка играет в квантовой механике две основные роли –

служит мерой дискретности и связывает воедино корпускулярный и волновой

аспекты движения материи. Тот факт, что обе роли играет одна и та же

постоянная, косвенно указывает на внутреннее единство двух основополагающих

идей квантовой механики. Наличие в том или ином выражении постоянной Планка

является характерным признаком «квантомеханической природы» этого

выражения.

3. Соотношения неопределенностей.

Идея дуализма и соотношения неопределенностей. Рассмотрим совокупность

большого числа плоских волн (природа волн не существенна),

распространяющихся, например, вдоль оси x. Пусть частоты волн «разбросаны»

в некотором интервале

Дщ, а значения волнового

вектора – в интервале Дkx.

Если наложить друг на

друга все эти плоские

волны, то в результате

получится волновое

образование, ограниченное в

пространстве,– так

называемый волновой пакет

(рис.2). Размытие волнового

пакета в пространстве

D x (Дx) и по времени (Дt)

определяется соотношениями:

рис.2 Дщ Дt > 1,

Дkx Дx >1.

Эти соотношения хорошо известны в классической физике. Тот, кто знаком с

радиотехникой, знает, что для создания более локализованного сигнала надо

взять побольше плоских волн с разными частотами. Иначе говоря, чтобы

уменьшить Дx и Дt, надо увеличивать Дkx и Дщ.

Далее отвлечемся от волнового пакета и будем формально полагать, что

соотношения справедливы не только для классических волн, но также и для

волновых характеристик микрообъекта. Это предположение отнюдь не означает,

что в действительности мы моделируем микрообъект в виде некоего волнового

пакета. Если рассматривать величины kx и щ как волновые характеристики

микрообъекта, то нетрудно перейти к аналогичным выражениям для

корпускулярных характеристик микрообъекта (для его энергии и импульса):

ДEДt > h,

ДpxДx > h.

Эти соотношения были впервые введены Гейзенбергом в 1927 г. их принято

называть соотношениями неопределенностей.

Эти соотношения можно дополнить следующим соотношением неопределенностей:

ДMxДцx > h,

где Дцx – неопределенность угловой координаты микрообъекта (рассматривается

поворот около оси х), а ДMx – неопределенность проекции момента на ось х.

По аналогии могут быть записаны соотношения для других проекций импульса

и момента:

ДpyДy > h, ДpzДz > h,

ДMyДцy > h, ДMzДцz > h.

Смысл соотношений неопределенностей. Обсудим соотношение ДpxДx > h.

Здесь Дx – неопределенность х-координаты микрообъекта, Дpx –

неопределенность х-проекции его импульса. Чем меньше Дx, тем больше Дpx, и

наоборот. Если микрообъект локализован в некоторой определенной точке х, то

х-проекция его импульса должна иметь сколь угодно большую неопределенность.

Если, напротив, микрообъект находится в состоянии с определенным значением

px , то он должен быть делокализован по всей оси х.

Иногда соотношение неопределенностей трактуют так: нельзя измерить

координату и импульс микрообъекта с произвольно высокой точностью

одновременно; чем точнее измерена координата, тем менее точно должен быть

измерен импульс. Такая трактовка не очень удачна, так как из нее можно

вывести ложное заключение, что смысл соотношения сводится к ограничениям,

которые оно накладывает на процесс измерения. В этом случае можно

предположить, что микрообъект сам по себе имеет и какой-то импульс и какую-

то координату, но соотношение неопределенностей не позволяет нам измерить

их одновременно.

В действительности же здесь ситуация иная – просто сам микрообъект не

может иметь одновременно и определенную координату, и определенную

соответствующую проекцию импульса; если, например, он находится в состоянии

с определенным значением координаты, то в этом состоянии соответствующая

проекция его импульса оказывается менее определенной. Естественно, что

отсюда вытекает естественная невозможность совместного измерения координат

и импульсов микрообъектов. Это есть следствие специфики микрообъектов, а

отнюдь не какой-либо каприз природы, в силу которого будто бы не все

существующее познаваемо. Следовательно, смысл соотношений не в том, что оно

создает какие-то препятствия на пути познания микроявлений, а в том, что

оно отражает некоторые особенности объективных свойств микрообъектов.

Далее отдельно остановимся на соотношении ДEДt > h. Рассмотрим несколько

отличающихся друг от друга, хотя и взаимно согласующихся толкования этого

соотношения. Предположим, что микрообъект нестабилен, пусть Дt – время его

жизни в рассматриваемом состоянии. Энергия микрообъекта в данном состоянии

должна иметь неопределенность ДЕ, которая связана с временем жизни Дt

рассматриваемым соотношением. В частности, если состояние является

стационарным (Дt сколь угодно велико), то энергия микрообъекта будет точно

определенной (ДЕ = 0).

Другое толкование соотношения связано с измерением, преследующем цель

выяснить, находится микрообъект на уровне Е1 или же на уровне Е2. Такое

измерение требует конечного времени Т, зависящего от расстояния между

уровнями (Е2-Е1):

(Е2-Е1)Т > h.

Нетрудно усмотреть связь между этими двумя трактовками. Чтобы разрешить

уровни Е1 и Е2, необходимо, очевидно, чтобы неопределенность энергии

микрообъекта ДЕ не превышала расстояния между уровнями: ДЕ < (Е2-Е1). В то

же время длительность измерения Т не должна, очевидно, превышать время

жизни Дt микрообъекта на данном уровне: Т < Дt. Крайние условия, в которых

измерения еще возможны, следовательно, имеют вид

ДE Е2-Е1, T Дt.

Соотношения неопределенностей показывают, каким образом следует

пользоваться понятиями энергии, импульса и момента импульса при переходе к

микрообъектам. Здесь обнаруживается весьма важная особенность физики

микрообъектов: энергия, импульс и момент микрообъекта имеют смысл, но с

ограничениями, налагаемыми соотношениями неопределенностей. Как писал

Гейзенберг, «мы не можем интерпретировать процессы в атомарной области так

же, как процессы большого масштаба. Если же мы пользуемся обычными

понятиями, то их применимость ограничивается так называемыми соотношениями

неопределенностей».

Следует, однако, подчеркнуть, что соотношения неопределенностей отнюдь не

сводятся к указанному ограничению применимости классических понятий

координаты, импульса, энергии и т.д. было бы неправильно не замечать за

Страницы: 1, 2, 3, 4