Расчет разветвленной электрической цепи постоянного тока

цепи, Ir — падением напряжения на внутреннем участке цепи.

Таким образом, ЭДС равна сумме падений напряжений на внешнем и внутреннем

участках полной (замкнутой) цепи.

Напряжение U (падение напряжений) на внешней цепи:

U=e-Ir

Сумма внешнего и внутреннего сопротивлений есть полное сопротивление

цепи: R + r. Закон Ома для полной цепи:

I=e/R+r

Сила тока в полной электрической цепи равна отношению ЭДС цепи к ее полному

сопротивлению.

Следствия из закона Ома для полной цепи

1. Если внутреннее сопротивление источника тока r мало по сравнению с

внешним сопротивлением R, то оно не оказывает заметного влияния на силу

тока в цепи. При этом напряжение на зажимах источника приблизительно равно

ЭДС:

U=IR=е

2. Когда внешнее сопротивление цепи стремится к нулю (R -> 0) — при

коротком замыкании, сила тока в цепи определяется внутренним

сопротивлением источника и принимает максимальное значение:

Imax=e/r

3. При разомкнутой цепи, когда R-> оо (сопротивление внешнего участка цепи

бесконечно велико) I = 0, напряжение источника тока равно его ЭДС. или ЭДС

источника измеряется разностью потенциалов на его клеммах:

e=U=ф2-ф1

Знак ЭДС и напряжение на участке цепи могут быть положительными и

отрицательными. Значение ЭДС считается положительным, если она повышает

потенциал в направлении тока — ток внутри источника идет от отрицательного

полюса к положительному полюсу источника. Напряжение принимается

положительным, если ток внутри источника идет в направлении понижения

потенциала (от положительного полюса источника к отрицательному полюсу).

1.7. Источники тока, их соединения.

На практике несколько источников электрической энергии соединяются в

группу — батарею источников электрической энергии. Соединение в батарею

может быть последовательное, параллельное и смешанное.

При последовательном соединении положительный полюс предыдущего

источника соединяется с отрицательным полюсом последующего.

Полная ЭДС цепи равна алгебраической сумме ЭДС отдельных элементов, а

внутреннее сопротивление батареи равно сумме сопротивлений источников:

Рис.7

(=(i=1(i,

r=(i=1ri,

Объяснить это можно тем, что при последовательном соединении

электрический заряд поочередно проходит через источник электрической

энергии и в каждом из них приобретает энергию. Внутреннее сопротивление

батареи также увеличивается.

При последовательном соединении одинаковых источников с ЭДС е и внутренним

сопротивлением г ЭДС батареи и ее внутреннее сопротивление равны.

(б=(*n,

Rб=R*n

где п — число источников.

Закон Ома для полной цепи при последовательном соединении одинаковых

источников тока записывается в виде;

I=((*n)/(R+r*n)

где ( и r — ЭДС и внутреннее сопротивление одного источника, R —

сопротивление внешнего участка цепи, I — сила тока в цепи.

Рис.8

Например, полная цепь содержит несколько источников тока, ЭДС которых

равны E1,E2,E3 а внутренние сопротивления—r1,r2,r3, соответственно. ЭДС,

действующая в цепи, равна:

(б=(1 -(2+(3-(4

Сопротивление батареи равно:

r,, = r, + r, + r, + г.

При этом учитываем, что положительными являются те ЭДС, которые

повышают потенциал в направлении обхода цепи, т.е. направление обхода цепи

совпадает с переходом внутри источника от отрицательного полюса источника к

положительному.

Последовательное соединение источников тока применяется в тех случаях,

когда нужно повысить напряжение на внешней цепи, причем сопротивление

внешней цепи велико по сравнению с внутренним сопротивлением одного

источника.

Рис.9

При параллельном соединении источников все их положительные

полюсы присоединены к одному проводнику, а отрицательные—к другому.

Полная ЭДС цепи (всей батареи равна ЭДС одного источника: (б= (,а

внутреннее сопротивление батареи равно:

Rб=r/n

где п — число параллельно соединенных источников.

При параллельном соединении ток одного источника электрической энергии

уже не проходит через другие, и поэтому каждый заряд получает энергию

только в одном источнике. Сопротивление батареи меньше сопротивления одного

источника, так как через каждый источник электрической энергии проходит

только часть зарядов, перемещающихся во внешней цепи.

Закон Ома для полной цепи при параллельном соединении одинаковых источников

тока записывается в виде:

I=(/(R+r/n)

Если заменить один источник тока батареей параллельно соединенных

источников, то ток в цепи возрастает.

Параллельное соединение источников тока применяется в тех случаях, когда

нужно усилить ток во внешней цепи, не изменяя напряжения, причем

сопротивление внешней цепи мало по сравнению с сопротивлением одного

источника.

Если ЭДС источников различны, то для источников тока напряжений и ЭДС в

различных участках цепи удобно пользоваться правилами Кирхгофа,

сформулированными в 1847 г. немецким Физиком Густавом Робертом Кирхгофом

(1824-1887).

1. Первое правило (правило узлов).

Алгебраическая сумма сил токов, сходящихся в любом узле, равна нулю:

(Ii=0

i= 1

где п — число проводников, сходящихся в узле. Узлом в разветвленной цепи

называется точка, в которой сходится не менее трех проводников. Токи,

текущие к узлу, считаются положительными, а токи, текущие от узла,

отрицательными.

Рис.10

Узел токов. I1+I2+I4=I3+I5 или I1+I2-I3+I4-I5=0.

2 Второе правило (правило контуров).

В любом замкнутом контуре, выделенном в разветвленной электрической цепи,

алгебраическая сумма произведений сил токов /; на соответствующее

сопротивление ri равна алгебраической сумме всех электродвижущих сил, в

этом контуре:

(i=1IiRi=(k=1(k

Токи считаются положительными, если они совпадают с условно выбранным

направлением обхода контура. ЭДС считается

Рис.11

положительной, если она повышает потенциал в направлении

Контур, выделенный из разветвленной цепи.

обхода контура (т.е. направление обхода совпадает с переходом от

отрицательного полюса к положительному). Направление обхода контура

выбирается по часовой стрелке или против часовой стрелки рис .

I1R1+I2R2-I3R3=(1+(2-(3

1.8. Измерение тока и разности потенциалов цепи

Силу электрического тока в цепи измеряют амперметром (от «ампер» и

греческого metreo — измеряю), который включается в цепь последовательно по

отношению к тому участку, в котором измеряется ток.

Рис.12

Так как сам амперметр обладает сопротивлением Лд, то при его включении

сопротивление всей цепи возрастает, а ток в ней уменьшается при неизменном

напряжении в соответствии с законом Ома. Чем меньше сопротивление

амперметра, тем меньше изменяется ток в цепи при включении в нее амперметра

и тем точнее его показания. Следовательно, сопротивление амперметра должно

быть очень малым. Амперметр нельзя подключать к сети без нагрузки, т.к.

произойдет короткое замыкание.

Любой амперметр рассчитан на измерение сил токов до некоторого

rмаксимального значения 1д, т.е. имеет верхний предел измерений. В

соответствии с этим различают микро -, милли-, кило - и наноампер-метры.

Для измерения токов, больших, чем те, на которые рассчитан амперметр,

параллельно ему включается резистор Лщ, называемый шунтом.

Рис.13

Сопротивление шунта в несколько раз меньше, чем собственное

сопротивление амперметра Дд, поэтому большая часть измеряемой силы тока I

пройдет через шунт. Через амперметр должен идти ток, не превышающий Jg,

причем эта сила тока меньше измеряемой силы тока I в п раз.

Следовательно, цена деления прибора (нижний предел измерений) возрастет в

га раз, а его чувствительность уменьшится в п раз.

Нужное сопротивление шунта к амперметру можно рассчитать, применяя

правила параллельного соединения проводников. При параллельном соединении

напряжение на шунте [7щ и амперметре 1/д одинаково 17щ -= Уд.

Рис.14

Прибор для измерения разности потенциалов (напряжения) между любыми

двумя точками проводника R с током называется вольтметром (от

«вольт» и греческого metreo — измеряю). Вольтметр включается в цепь

параллельно тому участку цепи, на котором измеряется напряжение.

Вольтметр обладает сопротивлением Ry После его включения в цепь

сопротивление всей цепи уменьшается, а ток в ней увеличивается.

Следовательно, сопротивление вольтметра должно быть достаточно большим по

сравнению с сопротивлением участка цепи, на котором измеряется напряжение.

При этом ток в вольтметре будет мал и не внесет заметных искажений в

измеряемое напряжение. Вольтметр можно включать в сеть, если он рассчитан

на напряжение, превышающее напряжение сети.

Любой вольтметр рассчитан на предельное напряжение U"„. Для расширения

пределов измерения напряжений вольтметра пользуются добавочными

сопротивлениями, которые присоединяют последовательно вольтметру. Величину

добавочного сопротивления -Кд, необходимого для измерения напряжений в п

раз больших, чем те, на которые рассчитан прибор, найдем согласно правилам

последовательного соединения проводников. Измеряемое напряжение U = Uy • п

равно также сумме напряжений, приходящихся на вольтметр (UВ = U /nи на

добавочное сопротивление U д:

Рис.15

U-U.+U,

Цена деления вольтметра и его пределы измерения увеличиваются в га

раз, при этом его чувствительность уменьшается во столько же раз.

При последовательном соединении в вольтметре и добавочном сопротивлении

устанавливается один и тот же ток

1=1в=1д,.

1.9 Работа и мощность электрического тока. Закон Джоуля-Ленца.

Работу сил электрического поля, создающего упорядоченное движение

заряженных частиц в проводнике, т.е. электрический ток, называют работой

тока.

Работа, совершаемая электрическим полем по перемещению заряда q на

участке цепи, равна:

и3

A=q•U=I•U•t=I2*R•t= U2/R*t

где I — сила тока на данном участке, U — напряжение на участке цепи, t —

время прохождения тока по участку цепи, q == It — электрический заряд

(количество электричества), протекающий через поперечное сечение проводника

за промежуток времени t. Единицей измерения работы служит джоуль: 1 Дж = 1

А* 1 В* 1 с. 1 Дж есть работа постоянного тока силой в 1 А в течение 1 с на

участке напряжением в 1 В.

По закону сохранения энергии эта работа равна изменению энергии проводника.

Мощность электрического тока при прохождении его по проводнику с

сопротивлением R равна работе, совершаемой током за единицу времени:

P=A/t=I*U=U2*R

Единицей измерения мощности электрического тока в СИ служит ватт: 1 Вт

= 1 Дж/с. Работу тока можно также определить следующим образом:

A=P*t

Единицей измерения работы также является киловатт-час (кВт • ч) или ватт-

час (Вт • ч):

1Вт*ч=3.6*102 Дж

В этих единицах работу обычно выражают в электротехнике. Полную мощность,

развиваемую источником тока с ЭДС и внутренним сопротивлением г, когда во

внешней цепи включена нагрузка с сопротивлением R, определяют по формуле:

P=I(R+r) =IR+Ir=I*I*(R+r) =I(

Полная мощность идет на выделение тепла во внешнем и внутреннем

сопротивлении.

Полезная мощность (мощность, выделяемая во внешнем сопротивлении) равна:

Pполез=I2R=(2R/(R+r)2

Она используется в электронагревательных и осветительных приборах.

Теряемая мощность (мощность, выделяемая во внутреннем сопротивлении)

равна:

Pтер=I2r=(2r/(R+r)2

Она не используется.

Мощность тока во всей внешней цепи при любом соединении равна сумме

мощностей на отдельных участках цепи.

Работа электрического поля приводит к нагреванию проводника, если на

участке цепи под действием электрического поля не совершается механическая

работа и не происходят химические превращения веществ. Поэтому энергия

(количество теплоты), выделяемая на данном участке цепи за время t, равна

работе электрического тока:

Q=A

Количество теплоты, выделяющееся проводником при нагревании его током,

определяют по закону Джоуля-Ленца:

Q = I2 Rt или

Q=I *U * t

Этот закон был установлен экспериментально английским ученым Джеймсом

Джоулем (1818-1889) и русским ученым Эмилием Христиановичем Ленцем

(1804—1865) и сформулирован следующим образом.

Количество теплоты, выделяемое проводником с током, равно произведению

квадрата силы тока, сопротивления проводника и времени прохождения тока по

проводнику.

При последовательном соединении проводников с сопротивлением R1 и R2

количество теплоты, выделенное током в каждом проводнике, прямо

пропорционально сопротивлению этих проводников:

Q1/Q2 =R1/R2, т.к. I1 = I2 при последовательном соединении

Количество теплоты, выделенное током в параллельно соединенных двух

участках цепи без ЭДС с сопротивлениями 2^ и И^, обратно пропорционально

сопротивлению этих участков:

Q1/Q2 =R1/R2, т.к. U1 = U2 при параллельном соединении

1.10. Электрический ток в металлах.

Прохождение тока через металлы (проводники I рода) не сопровождается

химическим изменением, следовательно, атомы металла не перемещаются вместе

с током. Согласно представлениям электронной теории, положительно

заряженные ионы (или атомы) составляют остов металла, образуя его

кристаллическую решетку. Электроны, отделившиеся от атомов и блуждающие по

металлу, являются носителями свободного заряда. Они участвуют в хаотическом

тепловом движении. Эти свободные электроны под действием электрического

поля начинают перемещаться упорядоченно с некоторой средней скоростью.

Таким образом, проводимость металлов обусловлена движением свободных

электронов. Экспериментальным доказательством этих представлений явились

опыты, выполненные впервые в 1912 г. советским академиком Леонидом

Исааковичем Мандельштамом (1879-1944) и Николаем Дмитриевичем Папалекси

(1880-1947), но не опубликованные ими. Позже в 1916 г. американские физики

Т.Стюарт и Ричард Чейс Толлин (1881-1948) опубликовали результаты своих

опытов, оказавшихся аналогичными опытам советских ученых.

Концы проволоки, намотанной на катушку, припаивают к двум

изолированным друг от Друга металлическим дискам. При помощи скользящих

контактов (щеток) к концам дисков присоединяют гальванометр.

Катушку приводят во вращение, а затем резко останавливают. Если

предположить, что в металле есть свободные заряды, то после резкой

остановки катушки свободные заряженные частицы будут двигаться некоторое

время относительно проводника по инерции. Следовательно, в катушке

возникнет электрический ток, который из-за сопротивления проводника будет

длиться небольшое время. Направление этого тока позволит судить о знаке тех

частиц, которые двигались по инерции. Так как возникающий ток зависит от

величины и массы зарядов, то этот опыт позволяет не только предположить

существование в металле свободных зарядов, но и определить знак зарядов, их

массу и величину (точнее, определить удельный заряд — отношение заряда к

массе).

Опыт показал, что после остановки катушки в гальванометре возникает

кратковременный электрический ток. Направление этого тока говорит о том,

что по инерции движутся отрицательно заряженные частицы. Измерив величину

заряда, переносимого этим кратковременным током через гальванометр, удалось

определить отношение величины свободных зарядов к их массе. Оно оказалось

равным е/т = 1,8 • 1011 Кл/кг, что совпадает со значением такого отношения

для электрона, найденным ранее другими способами.

Итак, опыт показывает, что в металлах имеются свободные электроны,

упорядоченное движение которых создает в металлах электрический ток.

Под влиянием постоянной силы со стороны электрического поля электроны в

металле приобретают определенную скорость упорядоченного движения, которая

является постоянной. Упорядоченное движение электронов в металле можно

рассматривать как равномерное движение, т.к. со стороны ионов

кристаллической решетки на них действует некоторая тормозящая сила — при

столкновениях с ионами свободные электроны передают им кинетическую

энергию, приобретенную при свободном пробеге под действием электрического

поля. Следовательно, средняя скорость упорядоченного движения электронов

пропорциональна напряженности электрического поля в проводнике v см Е.

Учитывая связь напряженности и разности потенциалов на концах проводника (Е

= U/d), можно сказать, что скорость движения электронов пропорциональна

разности потенциалов на концах проводника v ~ U.

От скорости упорядоченного движения частиц зависит сила тока в

проводнике: I = q0nv S, поэтому сила тока пропорциональна разности

потенциалов на концах проводника I ~ U, что дает качественное объяснение

закона Ома на основе электронной теории проводимости металлов.

Нагревание проводника при прохождении по нему постоянного тока можно

объяснить тем, что кинетическая энергия электронов передается при

столкновении ионов кристаллической решетки.

Количественную теорию движения электронов в металле можно построить на

основе законов квантовой механики, классическая механика Ньютона

неприменима для описания этого движения.

1.11. Электрический ток в электролитах. Закон электролиза

(закон Фарадея).

Растворы, проводящие электрический ток, называются электролитами. Ток

в электролите обусловлен движением положительных и отрицательных ионов,

т.е. осуществляется ионной

проводимостью.

Электролитами являются растворы кислот, щелочей и солей, а также

расплавленные соли. Электролиты иначе называют проводниками II рода

(проводники с ионной проводимостью). Прохождение тока в электролитах

связано с переносом вещества.

Ионами называют атомы или молекулы, потерявшие или присоединившие к

себе один или несколько электронов. Положительно заряженные ионы называют

иначе катионами (ионы металлов в растворах солей, водорода в растворе

кислот), а отрицательно заряженные — анионами (ионы кислотных остатков и

гидроксильной группы ОН~).

Пластины, создающие электрическое поле в электролите, называют

электродами. Электрод, который соединен с положительным полюсом источника

тока, называется анодом, а электрод, соединенный с отрицательным полюсом, —

катодом. Возникновение ионов в электролитах объясняется процессом

электролитической диссоциации — распадом молекул растворенного вещества на

положительные и отрицательные ионы под действием растворителя. Молекулы

растворяемых веществ состоят из взаимосвязанных ионов противоположного

знака, которые удерживаются друг около друга электрическими силами

притяжения.

Взаимодействие этих молекул с полярными молекулами растворителя — воды

— приводит к уменьшению силы взаимодействия притяжения ионов в молекулах

(диэлектрическая проницаемость воды равна 81). При хаотическом тепловом

движении молекул растворенных веществ и растворителей происходят их

столкновения, которые приводят к распаду молекул на отдельные разноименно

заряженные ионы.

Степенью диссоциации, а называют долю молекул растворенного вещества,

распадающихся на ионы, т.е. это отношение числа молекул п, диссоциировавших

на ионы, к общему числу молекул растворенного вещества N

Степень диссоциации зависит от температуры, диэлектрической

проницаемости растворителя и концентрации электролита. При повышении

температуры степень диссоциации возрастает, т.к. тепловое движение

способствует разрыву молекул на ионы и, следовательно, концентрация ионов

увеличивается. Чем больше диэлектрическая проницаемость Ј растворителя, тем

выше степень диссоциации, поскольку сила взаимодействия ионов в молекуле

электролита в растворе уменьшена bЈ раз.

Ионы разных знаков могут объединяться (рекомбинировать) в нейтральные

молекулы при тепловом хаотическом движении ионов в растворе. В результате в

растворе при неизменных условиях устанавливается динамическое равновесие

между процессами электролитической диссоциации и рекомбинации ионов, при

котором число молекул, распадающихся на ионы в единицу времени, равно числу

пар ионов, которые за это время воссоединяются в нейтральные молекулы- Ионы

в электролитах движутся хаотически до тех пор, пока в жидкость не

опускаются электроды. Тогда на хаотическое движение ионов накладывается их

упорядоченное движение к соответствующим электродам. В жидкости при этом

возникает электрический ток.

Прохождение тока через электролит сопровождается выделением на

электродах составных частей растворенного вещества — электролизом.

Положительно заряженные ионы (катионы) движутся к катоду и приобретают на

этом электроде недостающие электроны. Отрицательно заряженные ионы (анионы)

отдают аноду лишние электроны. Таким образом, на аноде происходит реакция

окисления, а на катоде — восстановления.

Электролизом называют процесс выделения на электродах веществ, связанный с

окислительно-восстановительными реакциями.

Количественные характеристики электролиза определяются законами электролиза

(законами Фарадея).

Первый закон электролиза (первый закон Фарадея)

Масса вещества, выделившегося на электроде за время Д? при прохождении

электрического тока, пропорциональна силе тока и времени.

Коэффициент пропорциональности k называется электрохимическим эквивалентом

вещества. Он численно равен массе

вещества, которые выделяется при переносе ионами через электролит

единичного заряда. Единица измерения электрохимического эквивалента k =

[кг/Кл].

Второй закон электролиза (второй закон Фарадея) устанавливает

пропорциональность между электрохимическим и химическим эквивалентом

вещества:

k =1/eNa * ( / n

где/; — молярная масса вещества, п — валентность, Na — число Авогадро, e—

заряд электрона, ( / n — химический эквивалент (или грамм-эквивалент)

вещества.

Произведение заряда электрона на постоянную Авогадро носит название

постоянной (числа) Фарадея:

F=e Na

Законы Фарадея можно объединить выражением:

т. = 1/F * ( / n I(t

Это выражение называют объединенным законом электролиза Фарадея.

Постоянная Фарадея численно равна электрическому заряду, который нужно

пропустить через электролит для выделения на электроде массы любого

вещества, равной в килограммах отношению молярной массы вещества к

валентности. Значение числа Фарадея в СИ:

F = 96485 Кл/моль

Электрический заряд q любого иона согласно объединенному закону Фарадея

равен:

q= +- nF/ Na

Заряд одновалентного иона (л = 1) равен по абсолютному значению заряду

электрона:

q=e=1,602*10-19 Kл

Таким образом, любой электрический заряд является кратным

элементарному заряду — заряду электрона е.

Электролиз широко применяется в различных электрохимических производствах.

Например, это электролитическое получение металлов из водных растворов их

солей и из расплавленных солей; гальваностегия, гальванопластика,

электрополировка. Электролитическое получение металлов из водных растворов

их солей может быть осуществлено рафинированием или электроэкстракцией.

Рафинирование представляет собой очищение металла от небольшого

количества примесей путем электролиза с активным анодом (в качестве анодов

в электролитическую ванну помещают металл с примесями), электролитом служит

раствор соли очищаемого металла. При электролизе такой анод растворяется,

примеси оседают на дно, а на катоде выделяется чистый металл.

Рафинированием получают чистые медь, серебро и золото.

Электроэкстракцией называется извлечение металла из электролита при

неактивном аноде. Электролитом служит водный раствор соли металла,

выделяющегося на катоде, а на аноде выделяются кислород или хлор. Таким

способом получают чистые цинк и никель.

Электролиз расплавленных солей проводится с помощью неактивных

(угольных) электродов и при высокой температуре, применяется при добывании

металлов, реагирующих с водой и поэтому не выделяющихся из водных

растворов. Таким путем добывают магний, алюминий, бериллий, литий, калий,

кальций и другие металлы.

Гальваностегией называется покрытие металлических предметов слоем

другого металла с помощью электролиза на активном аноде. Таким путем

пользуются для покрытия предметов не окисляющимся на воздухе металлом,

чтобы предохранить их от коррозии. Например, при никелировании,

хромировании и т.д. Гальваностегией также пользуются для изготовления

украшений (серебрение и золочение).

Гальванопластикой называется получение металлических копий с рельефных

изображений на каких-либо поверхностях путем электролиза при активном

катоде. Гальванопластика имеет большое значение, например, для изготовления

клише, применяемых в литографии.

Электрополировка заключается в выравнивании металлической поверхности

с помощью электролиза. В электролитическую ванну в качестве анода

опускается предмет, поверхность которого должна быть отполирована. При

электролизе в раствор уходит больше всего вещества с выступающих

неровностей на поверхности анода, т.е. происходит его полировка.

2 Расчётная часть

2.1Задание на курсовую работу

Расчет разветвлённой электрической цепи постоянного тока.

Для заданной электрической цепи необходимо:

1) Записать систему уравнений по законам Кирхгофа (без расчетов);

2) Определить все токи и напряжения методами контурных токов и узловых

потенциалов;

3) Проверить результаты расчетов по уравнениям баланса мощностей;

4) Построить потенциальные диаграммы для двух замкнутых контуров.

ЭДС=E1=E2=50 В

Резисторы R1=12 Ом

R2=24 Ом

R3=15 Ом

R4=18 Ом

R5=30 Ом

R6=30 Ом

R7=30 Ом

2.2 Составление уравнений по двум законам Кирхгофа.

Записываем уравнения по первому закону Кирхгофа для любых двух узлов:

Узел А: I1+I2+I3=0

Узел B: I3+I4+I5=0

1) Выбираем независимые контуры и направления их обходов.

3) Записываем уравнения по второму закону Кирхгофа для выбранных

независимых контуров.

I1*(R1+R6)-I2*R3=E1

I3*R2+I2*R3-I4*R4=0

I4*R4-I5*R7-I5*R5=E2

4) Подставим численное значение:

I1+I2-I3=0

I3+I4+I5=0

I1*(12+30)-I2*15=50

I3*24+I2*15-I4*18=0

I4*18-I5*30-I5*30=50

2.3 Определение всех токов и напряжений методами контурных

токов.

1) Выбираем независимые контуры:

R6,E1,R1,R6;

R3,R2,R4;

R4,E2,R5,R7;

2) Полагаем, что в каждом контуре течет свой контурный ток: I11,I22,I33.

3) Произвольно выбираем их направления.

4) Записываем уравнения по второму закону Кирхгофа относительно контурных

токов, для выбранных независимых контуров:

I11(R1+R3+R6)-I22*R3=E1

I22(R2+R3+R4)-I11*R3-I33*R4=0

I33(R4+R5+R7)-I22*R4=E2

Подставим численные значения:

I11*57-I22*15+0=50

-I11*15+I22*57-I33*18=0

0-I22*18+I33*78=50

5) Решаем полученную систему уравнений через определители:

Главный определитель:

|57 -15 0|

(= |-15 57 -18| = 253422+0+0-0-17550-18468=217404

|0 -18 78|

Вспомогательный определитель 1:

|50 -15 0|

(1= |0 57 -32| = 222300+0+13500-0-0-16200=219600

|50 -18 78|

Вспомогательный определитель 2:

|57 50 0|

(2= |-15 0 -18| = 0+0+0-0-(-58500)-(-51300)=109800

|0 50 78|

Вспомогательный определитель 3:

|57 15 50|

(3= |-15 57 0| = 162450+13500+0-0-11250-0=164700

|0 -18 50|

I11=(1/(=219600/217404=1.01(A)

I22=(2/(=109800/217404=0.505 (A)

I33=(3/(=-164700/217404=0.757 (A)

I1=I11=1.01 (A)

I2=I22=-0.505 (A)

I3=I11-I22=1.01-0.505=0.505 (A)

I4=I22-I33=0.505-0.757=-0.252 (A)

I5=I33=0.757 (A)

6)Энергетический баланс мощностей

На основании закона сохранения энергии количество теплоты выделяющиеся в

единицу времени на резисторах должно равняться

энергии доставляемой за это же время источниками энергии.

(IE=(I2R

E1*I1+E2*I5=I12 *(R1+R5)+I22*R2+I32 *R3+I42*R4+I52*(R5+R7)

50.5+37.5=32.64+6.120+3.825+0.068+34.382

88.35=77.055 (Вт)

2.4 Метод узловых потенциалов.

1) Выбираем базисный узел (целесообразно за базисный принимать тот узел, в

котором пересекается больше всего ветвей):

V3=0

2) Задаемся положительными направлениями узловых потенциалов от базисного

узла.

3) Записываем собственные и взаимные проводимости узлов, исключая базисный:

g11=0.0238+0.0416+0.0666=0.132 (Сим)

g22=0.0416+0.0555+0.0166=0.1137 (Сим)

g12=0.0416 (Сим)

4) Введем узловые токи для всех узлов, исключая базисный:

I11,I22

I11=1.1904 (A)

I22= -0.8333 (A)

Узловой ток равен алгебраической сумме токов от действия ЭДС ветвей

пересекающихся в данном узле.

Если ЭДС направлено к узлу, то ЭДС записываем со знаком «+»,

в противном случае «-».

5) Записываем систему уравнений:

V1*g11-V2*g12=I11

V2*g22+V1*g21=I22

g12=g21=0.0416 (Сим)

V1*0.132+V2*(-0.0416)=1.1904

V2*0.1137+V1*(-0.0416)= -0,8333

V1*0.132-V2*0.0416=1.1904

-V1*(-0.0416)+V1*0.132= -0.8333

|0.132 -0.0416|

(= |-0.0416 0.132| = 0.0174-0.0174=0.0157

|1.1904 -0.0416|

(1= |-0.8333 0.132| = 0.1571+0.0346=0.1225

|0.132 1.1904|

(2= |-0.0416 -0.8333| = (-0.1099)-(-0.0495)= -0.0604

V1=(1/(= 0.125/0.0157= 7.8025

V2=(2/(= -0.0604/0.0157= -3.8471

I1=(V3-V1+E1)/(R1+R6)=42.1975/42=1.0047 (A)

I2=(V1-V2)/R2=11.6496/24=0.4854 (A)

I3=(V3-V1)/R3= -7.8025/15= -0.5201 (A)

I4=(V3-V2)/R4= 0.2137 (A)

I5=(V3-V2+E2)/(R5+R7)= 53.8471/60=0.8974 (A)

2.5 Энергетический баланс мощностей

На основании закона сохранения энергии количество теплоты выделяющиеся в

единицу времени на резисторах должно равняться энергии доставляемой за это

же время источниками энергии.

(IE=(I2R

Энергетический баланс мощностей методом контурных токов:

E1*I1+E2*I5=I12 *(R1+R5)+I22*R2+I32 *R3+I42*R4+I52*(R5+R7)

50.5+37.5=32.64+6.120+3.825+0.068+34.382

88.35=77.055 (Вт)

Энергетический баланс мощностей методом узловых потенциалов:

E1*I1+E2*I5=I12 *(R1+R5)+I22*R2+I32 *R3+I42*R4+I52*(R5+R7)

50.235+44.87=42.3948+5.6547+4.0575+0.8208+48.318

95.105=101.245 (Вт)

2.6 Построение потенциальных диаграмм для двух замкнутых контуров.

Va=0

Vb=Va-I1*R1= -12.05 B (12;-12.0564)

R=12 (Ом)

Vc=Vb-I3*R3= -19.8579 C (27;-19.8579)

R=R+15 (Ом)

Vd=Vc-I1*R6= -50.02 D (57;-50.02)

R=R+30 (Ом)

Va=Vd+E1= 0 A (57;0)

R=57 (Ом)

[pic]

Рис. 20

Vt=0

Vf=Vt+I5*R5= 22.71 F(30;22.71)

R=30 (Ом)

Ve=Vf+I5*R7= 45.42 E(60;45.42)

R=R+30 (Ом)

Vs=Ve-I4*R4= 40.884 S(78;40)

R=R+18 (Ом)

Vt=Vs-E2= 10 T(78;10)

R=78 (Ом)

[pic]

Рис. 21

Заключение.

В процессе выполненных заданий я проанализировал схему разветвленной

электрической цепи постоянного тока, в полном объёме изучил её работу,

различные методы определения токов и напряжений, узловых потенциалов,

проверил на практике различные законы Ома, законы Кирхгофа, баланс

мощностей. Наглядно графическим методом показал зависимость напряжения от

сопротивления.

Список литературы.

Дятлаф А.А. Яворский Б.М. Курс физики//Высшая школа . 2000г.

Башин М. Л. Теория электрических цепей // Электротехника. 2001г.

Кринина М. Физика для высшеё школы // Физфакультет. 2000г.

Савельев И.Р. Курс общей физики // Москва 2000г.

Шабанова А.Р. Лекции // 2003г.

-----------------------

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

Страницы: 1, 2