Лекции по механике

сохранять свое состояние неизменным называют инерцией, а системы отсчета, в

которых выполняется этот закон, - инерциальными. Физический смысл закона

состоит в том, что для механики нет различия между состоянием покоя и

равномерного прямолинейного движения. Он подчеркивает относительность

движения. Строго говоря,

этот закон является чистой абстракцией, но опыт всего человечества за

прошедшие три с лишним века подтверждает его справедливость. Причина

изменения состояния тела, т.е. появление ускорения связана с понятием силы.

Сила - количественная мера воздействия на выбранное нами тело со стороны

других тел. Вообще говоря, это воздействие может быть достаточно сложным,

но в этом случае его можно разложить на так называемые простые воздействия.

Поэтому силой называют количественную меру простого воздействия на тело со

стороны других тел, в во время действия которого тело или его части

получают ускорения. Как показывает опыт, величина полученного ускорения

зависит от свойств взаимодействующих тел, от расстояния между ними и от их

относительных скоростей. Силу принято измерять ( в международной системе

единиц СИ ) в Ньютонах ( Н ). На территории нашей страны эта система единиц

является Государственным Стандартом с 1977 года. Однако до сих пор

существуют метрические внесистемные единицы: грамм, килограмм и тонна. Эти

единицы используются при определении веса тела.[4] На практике для

измерения величины силы используют динамометр - тарированную (

градуированную) пружину, снабженную шкалой.

( 2-2. Второй закон Ньютона.

Опыт показывает, что одна и та же сила сообщает различным телам

разные ускорения. Более массивные тела приобретают меньшие ускорения. Для

характеристики способности тел противостоять действию силы используется

понятие массы . Чем меньше ускорение, которое получает тело, тем больше его

масса, т.е.

ускорения тел обратно пропорциональны их массам:

[pic] .

( 2-1 )

Приняв какую-либо массу за эталон, с помощью этого соотношения можно

измерять любую массу.

Величина ускорения, которое получает тело определенной массы, зависит

от величины силы, - чем больше сила F, тем больше ускорение ( а ( F ) , по

другому a = k F, где k - коэффициент пропорциональности. С учетом (2-1)

имеем:

[pic] .

( 2-2 а )

Выбор коэффициента пропорциональности зависит от выбора системы

единиц. В настоящее время во всех существующих системах единиц принято

считать

k = 1, т.е.

[pic] .

( 2-2 б)

Ускорение - вектор, масса - величина скалярная ( число ), поэтому сила тоже

вектор, направление которого совпадает с направлением ускорения. Если на

тело действует несколько сил, то ускорение тела пропорционально их

геометрической сумме:

[pic].

( 2-3 )

Уравнение ( 2-3 ) представляет одну из форм записи второго закона Ньютона.

В механике это уравнение принято называть уравнением движения . Это

уравнение - векторное, и его можно заменить тремя скалярными, проектируя

поочередно( 2-3 ) на оси координат X, Y и Z. Второй закон Ньютона может

быть сформулирован несколько другим способом с помощью понятия импульса

тела. Импульсом принято называть величину p = mv, где v - скорость тела. В

ньютоновской механике предполагается, что масса тела постоянна и не зависит

от скорости, поэтому:

ma = m[pic] .

( 2-4 )

С учетом ( 2-4 ) уравнение ( 2-3 ) принимает такой вид :

[pic] .

( 2-5 )

( 2-3. Третий закон Ньютона.

Понятие силы определено как мера взаимодействия тел, т.е. при

рассмотрении движения какого-нибудь тела учитывается только одна сторона

этого взаимодействия. Ясно, однако, что все тела надо рассматривать как

равноправные, т.е. если второе тело воздействует на первое, то и первое

тело воздействует на второе. Третий закон Ньютона устанавливает соотношение

между этими воздействиями.

Силы, с которыми два тела действуют друг на друга, равны по величине и

направлены пр одной прямой в разные стороны.

Пример: книга лежит на столе; она притягивается к Земле и вследствие

этого давит на стол. Однако книга не проваливается к центру Земли, т.к.

стол со своей стороны действует на книгу с силой равной по величине силе

давления книге на стол. Эта сила со стороны стола носит название реакции

опоры. К самой книге приложено две силы: сила притяжения и сила реакции

опоры. Они равны по величине и противоположно направлены, т.е. их сумма

равна нулю, поэтому книга никуда не двигается.

( 2-4. Природа механических сил.

Из кинематики известно, что знание величины и направления ускорения

позволяет вычислить значения радиуса - вектора материальной точки в любой

последующий момент времени, т.е. предсказать [5] положение точки. Законы

динамики позволяют сделать это, если известна правая часть уравнений (2-3)

или (2-5). Другими словами, нужно уметь определять силы, действующие на

тело, положение которого требуется описать. Взаимодействие между

макроскопическими телами физика сводит к взаимодействию между элементарными

частицами. Таких элементарных частиц в настоящее время известно более

сотни. Среди них наиболее популярны электрон, протон и нейтрон. Для

характеристики всех частиц вводятся такие понятия как масса покоя,

электрический заряд, собственный механический момент ( спин ), а также

четность, странность, красивость, барионный заряд, цветовой заряд, слабый

заряд и т.д. Установлено, что между элементарными частицами существует

четыре фундаментальных взаимодействия: сильное, слабое, электромагнитное и

гравитационное. Сравнительные характеристики этих взаимодействий приведены

в таблице 1.

Таблица 1.

|Название | | |Характеристи-ка|

|вза-имодействи|Относитель-ная|Частица,«пере-н|частицы |

|я |интенсив-ность|осящая» | |

| | |взаи-модействие| |

| Сильное | 1 | (-мезоны |m ( 250 mэлект |

| | |(глюоны)(8 |разнообразные |

| | |типов ) | |

| Электромаг- | 10-2 | фотон | E= h( |

|нитное | | | |

| Слабое | 10-13 |W - частицы |Е (102 с2 m |

| | |Z - частицы |протон |

| | | |гипотетичны |

|Гравитацион- | 10-40 | гравитон | гипотетичен |

|ное | | | |

В классической физике считается, что электромагнитное и

гравитационное взаимодействия осуществляются посредством поля. Поле - это

особый вид материи, характерный тем, что каждой точке пространства можно

приписать определенное значение поля. Физическое поле - непрерывно. Однако,

современная физика, базирующаяся на квантовых представлениях, считает

дискретной любую физическую величину, которая может изменяться только

определенными порциями - квантами. Она приписывает полям дискретный

характер, когда изменение поля рассматривается как излучение или поглощение

некой частицы, распространяющейся с конечной скоростью ( не больше скорости

света с). Другими словами, в квантовой физике взаимодействия сводятся к

обмену теми или иными частицами, переносящими квант действия. Если квант

действия электромагнитного поля

хорошо известен под названием фотон, то квант гравитационного

взаимодействия

остается по сих пор неоткрытым, хотя он уже получил название гравитона.

Строго говоря, силы в механике могут быть сведены к этим двум

взаимодействиям, тем более, что два других типа описывают взаимодействия,

существующие только в микромире. В частности, сильное взаимодействие может

объяснить наличие ядерных сил, ответственных за устойчивость атомного ядра.

Слабые взаимодействия возникают между микрочастицами, обладающими так

называемым слабым зарядом. До 1983 года этот тип взаимодействия

рассматривался только теоретиками, но в этом году экспериментально была

открыта W+ - частица с энергией 81 ГэВ ( Гига - 109, электрон - Вольт -

единица измерения энергии, равная 1,6(10 -19 Джоуля), так что слабое

взаимодействие получило опытное подтверждение.

Из таблицы 1 видно, что гравитационные силы являются слабейшими из

всех фундаментальных взаимодействий, однако они обладают свойствами

аддитивности и достигают значительных величин в космическом масштабе (

притяжение Луны, строение Солнечной системы и т.п.). Величина

гравитационной силы притяжения двух точечных масс m1 и m2 определена

Ньютоном и известна как закон всемирного тяготения:

[pic] ,

( 2-6 )

где r - расстояние между массами, а G = 6,67 10 -11 Н( м2/кг2 -

гравитационная постоянная. Чтобы подчеркнуть, что сила - вектор, закон

записывают несколько иначе, рассматривая силу, действующую на m2 со стороны

m1:

[pic]r12 ,

( 2-7 )

откуда видно направление силы ( она направлена вдоль прямой, соединяющей

взаимодействующие массы). Модуль силы притяжения P тела массы m к Земле ,

которую называют силой тяжести можно записать так:

[pic]

( 2-8 )

где величина [pic] - ускорение свободного падения, МЗ- масса Земли, а RЗ -

радиус Земли. Из выражения g видно, что оно не зависит от массы выбранного

тела и поэтому одинаково для всех тел в определенной точке земной

поверхности.

| N | Важно подчеркнуть различие двух понятий - силы |

| |тяжести и веса тела: первая сила существует всегда, |

|а |когда есть притягивающая масса МЗ, тогда как вторая, |

| |представляющая меру воздействия тела на подставку или |

|Р |нить подвеса, вообще говоря может изменяться. Для |

|Рис.7. К определению |пояснения сказанного полезно рассмотреть показания |

|веса тела. |весов, на которых стоит гиря. В неподвижном состоянии |

| |на |

| |гирю действует две силы - сила тяжести Р и сила |

| |реакции опоры ( весов )N, причем Р - N = 0. Если |

| |весы движутся |

вниз с ускорением а (см рис.7), то уравнение второго закона Ньютона,

записанное в неподвижной системе координат[6], имеет вид:

ma = P - N ,

( 2-9 )

откуда N = P - ma = mg - ma = m( g - a ).

( 2-10 )

По третьему закону Ньютона сила реакции опоры N равна и противоположно

направлена силе давления гири на весы [pic], т.е. весу гири ( N =

[pic]). Поэтому вес

гири [pic]= m (g - a).

( 2-11 ) . Очевидно, что при а = g

[pic]= 0, т.е. все свободно падающие тела ничего не весят. Сила тяжести на

поверхности Земли не является постоянной по двум причинам: во-первых,

Земля, как известно не является идеальным шаром ( она сплюснута на

| |полюсах так, что на полюсах g больше, чем на |

| |экваторе); во-вторых, вследствие суточного вращения |

| |Земли, на все тела на ее поверхности (за исключением |

|r |географических полюсов) действует центростремительное|

| |ускорение aц = [pic]соs(, направленное в ту же |

|( |сторону, что и g. Поэтому (ср. с рис.7) вес тел будет|

|R |меньше там, где радиус вращения больше, т.е. на |

| |экваторе тела имеют наименьший вес. |

| |Кроме гравитационных сил в механике рассматриваются |

| |упругие силы и силы трения, которые обусловле- |

| | |

|Рис.8. Изменение ра | |

|диуса вращения. | |

ны электрическими силами. Силы упругости обусловлены деформациями.

Деформации связаны с изменением взаимного расположения молекул, образующих

рассматриваемое тело, причем силы возникают лишь тогда, когда деформации

носят упругий характер. В этом случае справедлив закон Гука так, что

[pic],

( 2-12 ) д

где ( обозначает величину упругой деформации, а к - коэффициент

пропорциональности, зависимый от свойств деформируемого тела и вида

деформации. Частным примером проявления упругих сил служат силы

реакции опор, направление которых считается всегда нормальным (

перпендикулярным ) к деформируемой поверхности. Другим примером действия

упругих сил могут служить так называемые силы связи ( силы натяжения ).

Рассмотрение сил трения можно ограничить двумя примерами : силами

сухого и силами вязкого трения[7]. Сила сухого трения скольжения известна

из школьного курса физики: Fтр = -( N, где ( - коэффициент трения,

характеризующий свойства взаимодействующих поверхностей, а N - так

называемая сила нормального давления . В отличие от сил вязкого трения эта

сила не зависит от скорости движения тела. Сила вязкого трения, напротив,

зависит от величины скорости, причем степень зависимости меняется по мере

возрастания скорости. Для сравнительно небольших скоростей она может быть

представлена в таком виде:

Fвяз = - bv =

-[pic]. ( 2-13 )

Величина коэффициента b зависит как от свойств самого тела, которое

движется в вязкой среде, так и от свойств среды. Иногда эту силу трения

удобнее представлять в таком виде:

Fвяз = - (S[pic],

( 2-14 )

где S - площадь соприкосновения тела со средой, ( - коэффициент внутреннего

трения среды, а величина производной, входящей в выражение для силы, носит

название градиента скорости, описывающего быстроту изменения скорости слоев

среды, увлекаемых телом, в направлении, перпендикулярном направлению

скорости тела.

Практически важное значение имеет сила трения покоя , возникающая

между соприкасающимися телами. Максимальную величину этой силы обычно

оценивают по формуле для силы трения скольжения, хотя в действительности

они несколько отличаются друг от друга.

( 2- 5. Динамика вращательного движения материальной

точки.

| N |Специфика такого движения состоит в том, что для его |

|v |описания приходится прибегать к некоторым ухищрениям для |

|mg |выбора системы отсчета, в которых можно записать уравнение|

|r |движения. Если выбирать обычную неподвижную систему |

| |координат, то направления скоростей и ускорения точки |

| |будут ежесекундно изменяться относительно координатных |

|Рис.9. Силы при |осей, что не совсем удобно. Поэтому оперируют с так |

|вращательном |называемой следящей системой координат, т.е. с такой |

|движении. |системой, |

| |начало которой неподвижно и совпадает в выбранный момент |

| |времени с движущейся материальной точкой, а направ- |

ления ее осей совпадает с направлением скорости тела в этот момент времени

и с

направлением радиуса вращения, проведенного в точку, где расположено тело в

этот же момент времени. Важно отметить, что выбранная таким образом

система

отсчета является неподвижной относительно инерциальной системы отсчета (на-

пример, Земли), и в ней справедливы законы Ньютона.

Рассмотрим в качестве примера движение автомашины по выпуклому мосту,

радиус которого r (см. рис.9) .Направим одну из осей следящей системы

координат к центру моста, а другую - вдоль направления скорости v.

Уравнение движения в этом случае имеет вид ( в проекции на вертикальную

ось):

maц = mg - N,

( 2-15 )

где через N обозначена сила реакции моста, а mg - сила тяжести. Решая это

уравнение относительно N, получаем :

N = mg - maц = m(g

-[pic]), ( 2-16 )

откуда следует, что при [pic] = g сила реакции моста будет равна 0 . Но

это означает, что автомашина в этот момент времени не оказывает никакого

давления на мост, т.е. она находится в состоянии невесомости.

Лекция 3 Динамика системы

материальных точек.

( 3 - 1. Центр масс системы материальных

точек.

| Y |Центром масс двух материальных точек А и В с массами m1 и|

| |m2 соответственно называется точка С, лежащая на отрезке, |

|m1 |соединяющем А и В, на расстояниях l1 и l2 от А и В, |

| |обратно пропорциональных массам точек (см. рис.10.), т.е. |

|А ( |[pic] . ( 3-1 ) |

| |Если положения точек А и В задаются радиус-векторами r1 и |

|r1= |r2 , то положение центра масс определяется радиусом - |

|l1 ( |вектором R. Из рис.10 следует, что |

|R l2 |R = r1 + l1 и R = r2 + l2 , ( |

|( В |3-2 ) |

| | |

|r2 m2 | |

| | |

|X | |

| | |

|Рис.10. К опреде- | |

|лению центра | |

| | |

|масс. | |

Умножая первое из этих уравнений на m1, а второе - на m2 и складывая их,

получим:

[pic]. ( 3-3 )

Из рис.10 и равенства ( 3-1 ) следует, что m2l2 = - m1l1. С учетом

этого соотношения из выражения ( 3-3 ) можно определить значение радиуса -

вектора R:

[pic] .

( 3-4 )

Обобщая это выражение для произвольного числа материальных точек, получим:

[pic] ,

( 3-5 )

где [pic]= М - полная масса системы точек.

Скорость центра масс такой системы определяется дифференцированием ( 3-5 ):

[pic] . ( 3-6 )

Величины mivi представляют собой импульсы отдельных точек, поэтому

урав-нение ( 3-6 ) можно переписать в следующем виде:

[pic]= Р,

( 3-7 )

где через Р обозначен суммарный импульс системы. Дифференцируя ( 3-7 ),

находим выражение для ускорения центра масс системы А:

[pic].

( 3-8 )

( 3 -2 Закон изменения импульса системы материальных точек.

Для простоты рассмотрим движение системы, состоящей из трех точек, на

каждую из которых действуют внутренние силы fik и внешние - Fi , где

индекс i представляет номер точки. Уравнения движения для каждой точки

имеют вид:

[pic]

[pic]

( 3-9 )

[pic]

Складывая эти уравнения, получим:

[pic] ( 3-10 )

По третьему закону Ньютона внутренние силы попарно равны по величине и

противоположны по направлению ( например, f12 = -f21). Потому сумма всех

внутренних сил равна нулю, и

[pic],

( 3-11 )

где через Р обозначен суммарный импульс системы. Обобщая ( 3-11 ) для

любого числа материальных точек, можно записать следующее выражение:

[pic],

( 3-12 )

которое принято называть законом изменения импульса системы материальных

точек. Как видно из этого выражения, изменение суммарного импульса

определяется равнодействующей всех внешних сил, действующих на систему.

Если же эта равнодействующая равна нулю ( или на систему не действуют

никакие внешние силы), то суммарный импульс системы остается постоянным.

Это следствие уравнения ( 3-12 ) называется законом сохранения импульса.

Другим следствием рассмотренного закона изменения импульса служит теорема о

движении центра масс, которая утверждает, что центр масс системы

материальных точек под действием внешних сил движется как материальная

точка суммарной массы, к которой приложены все внешние силы, и записывается

в таком виде:

МА =[pic].

( 3-13 )

Доказательство этого утверждения следует из сравнения определения

ускорения центра масс( 3-8 ) и выражения ( 3-13 ).

Примерами закона сохранения импульса могут служить отдача при

стрельбе из огнестрельного оружия, реактивное движение, перемещение

осьминогов и т.п.

Лекция 4.

Динамика твердого тела.

( 4-1. Кинематические соотношения.

Твердое тело можно рассматривать как систему материальных точек,

жестко скрепленных друг с другом. Отсутствие такого закрепления существенно

затруднило бы описание движения всего конгломерата точек. Для полного

описания движения одной точки необходимо знать ее три координаты, поэтому

для N точек число необходимых координат , а следовательно, и число

уравнений для их определения составило бы 3N. Так как число N может быть

как угодно большим, то возможности строгого решения системы из 3N

уравнений весьма ограничены.

Кроме того характер движения тела как целого может быть различным. Обычно

различают поступательное, вращательное и плоское движения. При

поступательном движении все точки тела движутся по параллельным

траекториям, так что для описания движения тела в целом достаточно знать

закон движения одной точки. В частности, такой точкой может служить центр

масс твердого тела. В этом случае задача описания движения тела решается с

помощью теоремы о движении центра масс. При вращательном движении все точки

тела описывают концентрические окружности, центры которых лежат на одной

оси. Скорости точек на любой из окружностей связаны с радиусами этих

окружностей и угловой скоростью

вращения: vi = [( ri ]. Так как твердое тело при вращении сохраняет свою

форму, радиусы вращения остаются постоянными и

[pic] = [ (ri] .

( 4-1 )

( 4-2. Определение момента силы.

Для описания динамики вращательного движения твердого тела необходимо

ввести понятие момента силы. При этом надо различать понятия момента силы

| |относительно точки и относительно оси. Если сила f |

|M |приложена к материальной точке А(см. рис.11),то |

| |моментом силы М относительно произвольной точки О |

| |называется векторное произведение радиуса-вектора |

| |r, проведенного из точки О к точке А, и вектора |

|O f |силы: |

|r ( |М = [ r f ] . ( 4-2 ) |

|A |Модуль векторного произведения [pic] = r f sin (, а|

| |на- |

|Рис.11. Момент силы от- |правление вектора М определяется правилом правого |

|носительно точки. |буравчика: направление первого вектора r по |

| |кратчай- |

шему пути вращается к направлению второго вектора f, а движение оси

буравчика

| z Mz |при этом вращении показывает направление вектора М. |

|f | |

|f |Моментом силы относительно произвольной оси z |

| |называется векторное произведение радиуса-вектора r |

|O f |и составляющей f силы f , приложенной в точке А: |

|r ( |М = [ r f ] , ( 4-3 )|

| | |

|А |где составляющая f представляет собой проекцию си-|

| | |

|Рис.12. Момент силы от- |лы f на плоскость, перпендикулярную оси z и |

|носительно оси. |проходящую через точку А , а r - радиус- вектор |

| |точки А, ле- |

| |жащий в этой плоскости . |

( 4-3. Основное уравнение динамики вращательного

движения.

| О1| Пусть имеется твердое тело произвольной формы (см. |

| |рис 13), которое может вращаться вокруг оси О1О2 . |

| |Разбивая тело на малые элементы, можно заметить, что все |

| |они вращаются вокруг оси О1О2 в плоскостях, |

|ri |перпендикулярных оси вращения с одинаковой угловой |

|mi |скоростью (. Движение каждого из отдельных элементов |

| |малой массы m описывается вторым законом Ньютона. Для i |

| |-го элемента имеем: |

| |mi ai = [pic] fi1+ fi2 + ..... +fiN + Fi , |

| |( 4-4 ) |

|О2 | |

|Рис.13 Вращение | |

|твердого тела. | |

где fik ( k = 1,2, ...N) представляют собой внутренние силы взаимодействия

всех элементов с выбранным, а Fi - равнодействующая всех внешних сил,

действующих на i - элемент. Скорость vi каждого элемента вообще говоря

может меняться как угодно, но поскольку тело является твердым, то смещения

точек в направлении радиусов вращения можно не рассматривать. Поэтому

спроектируем уравнение ( 4-4 ) на направление касательной и умножим обе

части уравнения на ri :

ri( mi ai )t= ri([pic]ri(fi1)t + ri(fi2)t + .....

+ri(fiN)t + ri(Fi)t . ( 4-4a )

В правой части получившегося уравнения произведения типа ri(fi1)t

представляют собой (согласно ( 4-3)) моменты внутренних сил относительно

оси вращения, т.к. ri и (f i)t взаимно перпендикулярны. Аналогично

произведения ri(Fi)t являются моментами внешних сил, действующих на i-

элемент. Просуммируем уравнения дви-

| |жения по всем элементам, на которые было разбито тело. |

|1 O1 | |

|(f12) |Сумму моментов внутренних сил можно разбить по парам |

| |слагаемых, обязанных своим возникновением |

|f12 r1 |взаимодействию двух элементов тела между собой. На |

| |рис.14 пред- |

| |ставлена пара, состоящая из 1-го и 2-го элементов. |

|( |Проводя плоскость через линию, соединяющую эти |

| |элементы, параллельно оси вращения О1О2, нетрудно |

|l12 |заметить, что моменты сил взаимодействия этих элементов|

| |равны по величине и противоположно направлены, т.е. они|

| |компенсируют друг друга. Действительно, силы f12 и f21 |

| |равны между собой; равны и их составляющие (f12) = |

|f21 |(f21) . Кроме того равны и их плечи [8]( l12= l21 ), |

| |т. к. каждое из них |

|l21 |перпендикулярно проведенной плоскости. Поэтому момен- |

| | |

|(f21) ( . | |

|2 r2 | |

| | |

|O2 Рис.14. | |

|Компенсация | |

|моментов внут- | |

|ренних сил . | |

ты сил М1 = ( f12) r1sin(900 - () = (f12) l12 и M2 = (f21) r2 sin(900

- () = (f21) l21 равны и противоположно направлены. На основании этого

можно сделать вывод, что при сложении всех моментов внутренних сил они

попарно уничтожатся. Суммарный момент всех внешних сил обозначим ( Мi , где

Mi = [ ri Fi].

Левая часть уравнения ( 4-4а ) с учетом (3 -7) представится в таком

виде:

[pic]=[pic]=[pic], ( 4-5

)

где величину [pic] принято называть моментом инерции твердого тела

относительно заданной оси. Эта величина характеризует распределение массы

тела относительно определенной оси. Как следует из определения момента

инерции - это величина аддитивная. Момент инерции тела складывается из

моментов инерции его отдельных элементов, которые можно рассматривать как

материальные точки, т.е.

I =[pic], где ji = mi [pic] - момент инерции

материальной точки.

При практическом вычислении моментов инерции вместо суммирования

используется интегрирование ( суммирование бесконечно малых величин). Если

ось, относительно которой вычисляется момент инерции, проходит через центр

симметрии тела, то вычисление такого интеграла представляет сравнительно

несложную задачу, но в общем случае задачу решить трудно. Для упрощения

вычислений полезной оказывается теорема о параллельном переносе осей

инерции (теорема Гюйгенса - Штейнера), формулировка которой гласит, что

момент инерции относительно любой оси равен сумме момента инерции

относительно параллельной оси, проходящей через центр масс, и произведения

массы тела на квадрат расстояния между осями, т.е.

Iпроиз = Iцм + m

d 2 . ( 4-6)

Для некоторых тел правильной формы значение моментов инерции относительно

осей, проходящих через центр их симметрии приведены в таблице 2.

Таблица 2.

|Форма тела Расположение | На основании изложенного уравне-ние|

|Величина |(4-4а) с учетом (4-5) приводится к |

|оси момента |виду: |

|инерции |[pic] , ( 4-7 ) |

|Обруч |которое называется уравнением динамики|

|m R2 |вращательного движения твердого тела |

| |или уравнением моментов. Дело в том, |

|Цилиндр |что левую часть этого уравнения можно |

|[pic] |представить по другому, т.к. по |

| |аналогии с правой частью величину |

|Шар |[riaimi]=[[pic]=[pic] |

|[pic] | |

| | |

|Примечание: m- масса тела, R - его | |

|радиус | |

называют изменением момента импульса (радиус ri внесен под знак

дифференцирования, т.к. все точки вращаются по окружностям постоянного

радиуса ) . Если

обозначить [ ri mi vi] = [ri pi] = Li , a cyмму [pic] = L , то уравнение (4-

7) можно за-

писать так: [pic].

( 4-8 )

| |Рис.15 поясняет определение момента импульса |

|L |точечной массы относительно точки О, который |

| |вычисляется также как момент силы [ ri mi vi] = |

| |[ri pi] = Li . Направление момента импульса |

| |определяется правилом правого буравчика - вектор r |

|O mv |вращается по кратчайшему пути к вектору mv, а |

|r ( |направление движения оси буравчика указывает |

|A |направление вектора L . Момент импульса |

| |относительно оси также определяется аналогично |

|Рис.15.Момент импуль- |моменту силы относительно оси: |

|са материальной точки. | |

L = [ r p ] ,

( 4-9 )

где значения r и р соответствуют обозначениям рис.12 ( с заменой f на р ).

Для вращательного движения точки L = [r mv] = [r m(r] = ( mr 2 = ( Ii .

Для твердого тела L =

(I . ( 4-10 )

( 4-4. Закон сохранения момента импульса.

Если правая часть уравнения (4-8) оказывается по каким - либо

равной нулю - суммарный момент сил равен нулю, то[pic] и L = const. Это

случается, если система замкнута, т.е. внешние силы вообще не действуют,

или если моменты внешних сил компенсируют друг друга. Наконец, если внешние

силы оказываются центральными - линии действия всех сил пересекаются в

одной точке. Весьма интересным представляется случай, когда механический

момент импульса при вращении тела имеет достаточно большую величину ( по

сравнению с моментом внешних сил ). Наиболее ярким примером этого служит

гироскоп ( см. рис 16 ).

| |Гироскопом принято называть достаточно массивное |

| |тело, быстро вращающееся вокруг оси симметрии. |

|L1 |Гироскоп закрепляют в одной точке с помощью |

|d( |специального устройства - карданова подвеса . Если |

|M |на гироскоп действуют внешние силы ( груз mg на |

|L2 dL |рис.), |

|mg |то ось гироскопа начинает смещаться под |

| |воздействием момента силы ( см. ( 4-8 )), т.е. |

|Рис.16 Прецессия гиро- |изменение момента импульса совпадает с направление |

|скопа. |М. За малый промежуток времени dt ось гироскопа |

| |повернет- |

ся на угол d( так, что изменение момента импульса dL = L1 - L2 = Ld(. В то

же время из уравнения ( 4-8 ) следует dL = M dt , или Ld( = M dt ,

откуда можно придти к выводу, что гироскоп начинает вращаться в плоскости,

перпендикулярной плоскости рисунка с частотой, которая называется частотой

прецессии.

[pic].

( 4-11 )

Если моменты внешних сил малы по сравнению с моментом импульса вращающегося

тела, то частота прецессии мала, и тело сохраняет ориентацию оси вращения в

пространстве ( пример - жонглирование предметами в цирке).

-----------------------

[1] В отличие от юридических законов, предписывающих те или иные правила

поведения, физические законы носят

описательный характер и отражают реальные соотношения между различными

явлениями природы.

[2] Материальной точкой можно считать любой объект, если его геометрические

размеры малы по сравнению с характеристическими расстояниями конкретной

задачи.

[3] Трактат И. Ньютона «Математические начала натуральной философии» был

опубликован в 1687 г.

[4] Вес тела - это сила, с которой тело давит на подставку или растягивает

нить подвеса. В быту силу в Ньютонах измерять не принято.

[5] Это не имеет ничего общего с так называемыми «предсказаниями»

оккультных «наук».

[6] Положительное направление оси координат удобно направить вниз.

[7] Для упрощения изложения материала силы трения качения не

рассматриваются .

[8] Плечом силы называют величину r sin( (cм. выражение (4-2) и обозначения

рис.11.). Оно является перпендикуляром, опущенным на линию действия силы.

-----------------------

C

Страницы: 1, 2