Синтез управляющего автомата модели LEGO транспортной тележки и моделирование ее движения

Синтез управляющего автомата модели LEGO транспортной тележки и моделирование ее движения

Кубанский государственный технологический университет

Кафедра автоматизации технологических процессов

Задание на контрольную работу

По дисциплине “Автоматизированное управление дискретными процессами”

для студентов заочной формы обучения специальности 21.01 — “Автоматика и

управление в технических системах” на тему: “Синтез управляющего автомата

модели LEGO — “транспортная тележка” и моделирование её движения вдоль

трассы”

Выдано:

Аспирантом каф. АПП 06.09.99 /Напылов Р.Н./

студенту гр. ____________ /____________/

Краснодар 1999

Исходные данные

1 Управляемый процесс — движение модели LEGO транспортной тележки вдоль

заданной траектории в виде белой полосы. Ориентация тележки относительно

трассы регулируется датчиками контраста.

2 Условная схема транспортной тележки приводится на рисунке 1.1. Тележка

движется за счёт заднего привода, создающего постоянное тягловое усилие

[pic]. Вращение переднего колеса тележки осуществляется с помощью

реверсивного поворотного двигателя, отрабатывающего с постоянной угловой

скоростью [pic], где [pic] — угол поворота переднего колеса (рисунок 1.1)

3 Транспортная тележка, как объект управления имеет систему дискретных

входных и выходных сигналов, структурно представленную на рисунке 1.2.

Кодировка указанных сигналов следующая:

Таблица 1.1 – Кодировка управляющих сигналов

|Разряд | |

|сигнала |Управляющее действие |

|X | |

|X0 |1 – двигатель тележки включен |

| |0 – двигатель тележки выключен |

|X1 |1 – поворотный двигатель отрабатывает влево |

| |0 – двигатель влево не отрабатывает |

|X2 |1 – поворотный двигатель отрабатывает вправо |

| |0 – двигатель вправо не отрабатывает |

Таблица 1.2 – Кодировка выходных сигналов

|Разряд | |

|сигнала |Событие |

|Y | |

|Y0 |1 – левый датчик над светлой точкой трассы |

| |0 – левый датчик над тёмной точкой трассы |

|Y1 |1 – правый датчик над светлой точкой трассы |

| |0 – правый датчик над тёмной точкой трассы |

Сигналы Y используются в качестве обратной связи управляющего

автомата. По изменению этих сигналов возможно судить о текущем положении

тележки относительно белой полосы трассы. Сигналы X вырабатываются

управляющим автоматом в зависимости от поведения во времени сигналов Y так,

что бы обеспечить совпадение траекторий движения тележки и трассы.

4 Решение о подачи питания на задний привод тележки и, расположенный на

ней, управляющий автомат принимает внешний оператор. Поэтому, исходным

состоянием тележки является активность двигателя привода. В этом случае

задача управляющего автомата состоит только в обеспечении движения тележки

вдоль трассы.

5 Допущения, делаемые при рассмотрении управляемой тележки в динамике:

тягловое усилие [pic] постоянное;

приведённая сила трения [pic] пропорциональна линейной скорости движения

тележки;

сила трения [pic], подменяющая реакцию [pic] в момент, когда [pic]

(переднее колесо проскальзывает), постоянна и пропорциональна массе

тележки;

сила трения [pic], подменяющая реакцию [pic] в момент, когда [pic] (тележку

заносит), также постоянна и пропорциональна массе тележки;

масса тележки [pic] и её момент инерции [pic] относительно центра масс

связаны зависимостью: [pic], как если бы вся масса тележки была

сосредоточена в стержне [pic] (рисунок 1.1).

Основное задание

1 Сформировать модель управляющего автомата в форме таблицы переходов и

выходов автомата Милли, предварительно составив список его возможных

состояний и перекодировав входной алфавит автомата во множество

многозначной логики (Y - четырёхзначное);

2 Минимизировать, в случае возможности, таблицу переходов и выходов

автомата Милли;

3 Составить алгебрологические выражения функции переходов и функции выходов

минимизированного автомата, используя только двоичное представление

входных и выходных сигналов;

4 Минимизировать полученные функции;

5 По минимизированным логическим функциям зарисовать цифровую схему

управляющего автомата (стандарт условного графического изображения

логических элементов — Российский).

Дополнительное задание

Вывести модель динамики транспортной тележки. Положение центра масс

тележки в плоской системе координат задавать вектором положения [pic].

Положение точки приложения силы тяги привода задавать вектором [pic].

Список источников

1 Юдицкий С.А., Магергут В.Э. Логическое управление дискретными процессами.

Модели, анализ, синтез. — М.: Машиностроение, 1987. — 176 c.

2 Кузнецов О.П., Адельсон-Вольский Г.М. Дискретная математика для

инженеров. — М.: Энергоатомиздат, 1987. — 450 c.

3 Шварце Х., Хольцгрефе Г.-В. Использование компьютеров в регулировании и

управлении: Пер. с нем.—М.: Энергоатомиздат, 1990. — 176 с.: ил.

4 Каган Б.М., Сташин В.В. Основы проектирования микропроцессорных устройств

автоматики. — М.: Энергоатомиздат, 1987. — 304 c.

5 Мишель Ж., Лоржо К., Эспью Б., Программируемые контроллеры. — Пер. c

французского А.П. Сизова — М.: Машиностроение, 1986.

6 Микропроцессоры: В 3-х кн. Кн. 2. Средства сопряжения. Контролирующее и

информационно-управляющие системы: Учеб. Для втузов/В.Д. Вернер, Н.В.

Воробьёв, А.В. Горячев и др.; Под ред. Л.Н. Преснухина. — М.: Высш. шк.,

1986. — 383 c.: ил.

7 Фиртич В. Применение микропроцессоров в системах управления: Пер. с нем.

— М.: Мир, 1984,—464 c., ил.

Решение основного задания

1 Выходной алфавит транспортной тележки является входным алфавитом

управляющего автомата Y. Для возможности применения теории конечных

автоматов перекодируем его во множество четырёх знаков в соответствии с

таблицей 5.1.

Таблица 5.1 – Кодировка входного алфавита управляющего автомата

|Y0 |Y1 |Y |

|0 |0 |0 |

|0 |1 |1 |

|1 |0 |2 |

|1 |1 |3 |

2 При определении возможных состояний управляющего автомата будем

руководствоваться правилом: — допустимо введение избыточных состояний,

которые при последующей минимизации автомата исключаются; недопустим

пропуск необходимого состояния, который уменьшает адаптированность автомата

к внешним ситуациям.

Перечень возможных состояний автомата, отождествлённых с

ситуационными событиями транспортной тележки, приводится ниже.

Таблица 5.2 – Перечень состояний управляющего автомата транспортной

тележки

|Код |Описание состояния |

|состояния S | |

|0 |Исходное состояние неуправляемого движения; |

|1 |Поворот вправо (поворотный двигатель непрерывно |

| |отрабатывает вправо); |

|2 |Поворот влево (поворотный двигатель непрерывно |

| |отрабатывает влево); |

|3 |Конфликт поворотов. |

3 Для возможности формирования математической модели управляющего автомата

рассмотрим описательный алгоритм управления транспортной тележки по

состояниям:

В исходном состоянии тележка непрерывно движется под действием привода. Ни

один из датчиков контраста не находится над белой полосой трассы.

Поворотный двигатель остановлен;

При возникновении белой полосы под левым датчиком контраста включается

поворотный двигатель на отработку влево. Привод отключается и далее следует

движение по инерции, что уменьшает вероятность заноса тележки;

Как только левый датчик контраста “сходит” с белой полосы поворотный

двигатель останавливается в текущем состоянии, а привод вновь запускается;

При возникновении белой полосы под правым датчиком — поведение транспортной

тележки аналогично;

Возникновение белой полосы под правым и левым датчиком свидетельствует о

том, что тележка движется перпендикулярно трассе. Это сбойная ситуация, при

которой следует отключение привода и блокировка управляющего автомата.

Нормальный ход работы автомата может быть восстановлен только “сбросом”.

4 Поскольку управляющий сигнал имеет три разряда, то для составления модели

автомата Милли необходимо построить три таблицы переходов и выходов.

Указанные таблицы, эквивалентные описательному алгоритму управления,

приводятся ниже.

Таблица 5.3 – Таблицы переходов и выходов управляющего автомата

| |Для X0 |Для X1 |Для X2 |

|Код | | | |

|Si | | | |

| |y |y |y |

| |0 |1 |2 |3 |0 |1 |2 |3 |0 |1 |2 |3 |

|0 |[pic|[pic|[pic|[pi|[pic|[pic|[pic|[pic|[pic|[pi|[pi|[pi|

| |] |] |] |c] |] |] |] |] |] |c] |c] |c] |

| |Для X0 |Для X1 |Для X2 |

|Код | | | |

|Si | | | |

| |y |y |y |

| |0 |1 |2 |3 |0 |1 |2 |3 |0 |1 |2 |3 |

|1 |[pic|[pic|[pic|[pi|[pic|[pic|[pic|[pic|[pic|[pi|[pi|[pi|

| |] |] |] |c] |] |] |] |] |] |c] |c] |c] |

|2 |[pic|[pic|[pic|[pi|[pic|[pic|[pic|[pic|[pic|[pi|[pi|[pi|

| |] |] |] |c] |] |] |] |] |] |c] |c] |c] |

|3 |[pic|[pic|[pic|[pi|[pic|[pic|[pic|[pic|[pic|[pi|[pi|[pi|

| |] |] |] |c] |] |] |] |] |] |c] |c] |c] |

5 Как видно, состояния S0, S1, S2 явно эквивалентны, причём для каждого из

выходов X. Представляется возможным эти эквивалентные состояния обозначить

одним состоянием S0 – состояние управления тележкой. В этом случае,

состояние блокировки S3 удобно переобозначить как S1 – состояние блокировки

автомата. В результате получаем модель несократимого автомата Милли.

Таблица 5.4 – Таблицы переходов и выходов несократимого автомата

| |Для X0 |Для X1 |Для X2 |

|Код | | | |

|Si | | | |

| |y |y |y |

| |0 |1 |2 |3 |0 |1 |2 |3 |0 |1 |2 |3 |

|0 |[pic|[pic|[pic|[pi|[pic|[pic|[pic|[pic|[pic|[pi|[pi|[pi|

| |] |] |] |c] |] |] |] |] |] |c] |c] |c] |

|1 |[pic|[pic|[pic|[pi|[pic|[pic|[pic|[pic|[pic|[pi|[pi|[pi|

| |] |] |] |c] |] |] |] |] |] |c] |c] |c] |

6 Учитывая, что код состояния полученной модели описывается одноразрядным

сигналом S, а также учитывая кодировку входных сигналов Y (табл. 5.1),

составим таблицу истинности комбинационной схемы автомата, непосредственно

по таблице 5.4 и введя обозначения: S[j] — текущий сигнал состояния,

S[j+1] — сигнал состояний на следующем такте автомата.

Судя по таблице 5.5, минимизации поддаётся только функция переходов

[pic]. Минимизируем её методом карт Карно (см. рис. 5.1).

Таблица 5.5 – Таблица истинности комбинационной схемы автомата

|S[j] |0 |0 |0 |0 |1 |1 |1 |1 |

|Y0 |0 |0 |1 |1 |0 |0 |1 |1 |

|Y1 |0 |1 |0 |1 |0 |1 |0 |1 |

|S[j+1] |0 |0 |0 |1 |1 |1 |1 |1 |

|X0 |1 |0 |0 |0 |0 |0 |0 |0 |

|X1 |0 |0 |1 |0 |0 |0 |0 |0 |

|X2 |0 |1 |0 |0 |0 |0 |0 |0 |

7 Теперь можно записать логические выражения для комбинационной схемы

автомата.

Функция переходов:

[pic]. (5.1)

Функции выходов в СДНФ по таблице истинности:

[pic]. (5.2)

Для удобства реализации комбинационной схемы представим

рассматриваемые функции в базисе “ИЛИ-НЕ”:

[pic]. (5.3)

8 На основе системы (5.3), окончательно получаем цифровую схему реализации

управляющего автомата транспортной тележки, представленную на рисунке 5.2.

Особенностью полученной схемы является то, что она не содержит

элементы памяти и задержки и, соответственно, не является тактируемой.

Такой вариант реализации возможен для автоматов с двумя состояниями, одно

из которых является абсолютно устойчивым. В нашем случае состояние

блокировки есть абсолютно устойчивое состояние. Если комбинационная схема

сформируем это состояние, то за счёт обратной связи по линии S запрещается

реакция выходов X на изменение входных сигналов Y. Выход из этого

устойчивого состояния возможен только принудительным обнулением линии S

единичным уровнем на линии “Сброс”. Конфликтных “Состязаний” в

рассматриваемом автомате не возникает.

Решение дополнительного задания

1 Действующая на тележку в динамике система сил раскладывается на

результирующую силу, приложенную к центру масс тележки [pic] и вращающий

момент [pic], относительно того же центра масс.

2 Как видно из рисунка 1.1 вращающий момент определяется только силой

реакции опоры переднего колеса [pic] —

[pic], (6.1)

[pic] — угол поворота переднего колеса.

Зная из рисунка, что

[pic], (6.2)

получим:

[pic]. (6.3)

Положительные значения вращающего момента соответствуют повороту тележки

влево, отрицательные — вправо.

3 Результирующая сила, действующая на центр масс тележки, определяется

векторной суммой всех сил на рисунке 1.1:

[pic]. (6.4)

Для нашего случая важно знать направление действия силы [pic],

которое зависит от направлений и величин составляющих рассматриваемой

суммы. В свою очередь направления составляющих рассматриваются относительно

положения габаритной определяющей, которое характеризуется единичным

вектором:

[pic], (6.5)

[pic] — вектор, задающий координаты центра масс тележки;

[pic] — вектор, задающий координаты точки приложения силы тяги

[pic];

[pic] — габаритная определяющая транспортной тележки.

4 Вектор [pic] представляется в базисе вектора [pic] следующим образом:

[pic], (6.6)

[pic] — единичный вектор, ортогональный вектору [pic],

или

[pic]. (6.7)

Если [pic] имеет координаты [pic], то [pic] имеет координаты [pic].

Тогда вектор [pic], выраженный в базисе Декартовой системы координат, имеет

вид:

[pic], (6.8)

[pic] — матрица (оператор) поворота вектора [pic] на угол [pic].

Теперь, используя выражение (6.2), окончательно найдём, что

[pic]. (6.9)

5 Из рисунка 1.1 очевидным образом вытекают выражения для векторов силы

тяги и приведённой силы трения, а именно:

[pic], (6.10)

[pic]. (6.11)

6 Центростремительная реакция трассы [pic] определяется произведением массы

тележки и нормальной составляющей ускорения её центра масс,

возникающей при закруглении траектории движения:

[pic], (6.12)

[pic] — центростремительное ускорение.

Если траектория движения центра масс задаётся вектором [pic], то

[pic], (6.13)

[pic] — вектор скорости центра масс;

[pic] — вектор полного ускорения;

[pic] — оператор скалярного произведения векторов.

Это физический факт. Вывод его опускаем.

7 Центр масс тележки смещается под действием результирующей силы [pic], при

этом справедливо:

[pic]. (6.14)

8 Точка приложения силы тяги смещается под действием вращающего момента

[pic], за счёт которого ей придаётся угловое ускорение [pic]:

[pic], (6.15)

[pic] — момент инерции тележки относительно центра масс.

Зная угловое ускорение можно найти тангенциальное [pic] в скалярной

форме:

[pic],

а затем и в векторной:

[pic], (6.16)

[pic] — векторная скорость изменения ориентации габаритной определяющей.

С другой стороны, — вектор тангенциального ускорения может быть

выражен через полное ускорение вектора [pic]:

[pic], (6.17)

[pic] — вектор полного ускорения изменения ориентации габаритной

определяющей;

В результате имеем связь:

[pic]. (6.18)

9 Учитывая, что приведённая сила трения пропорциональна модулю скорости

центра масс:

[pic], (6.19)

[pic] — коэффициент трения,

на основании всех найденных зависимостей путём исключения неизвестных

нетрудно получить систему дифференциальных уравнений, являющуюся моделью

динамики транспортной тележки в векторной форме. Записать эту систему в

одну строчку проблематично, поэтому ограничимся указанием того, что первое

дифференциальное уравнение системы строится на основе выражений: (6.3),

(6.4), (6.5), (6.9), (6.10), (6.11), (6.13), (6.14), (6.19), а второе на

основе: (6.3), (6.5), (6.18). Решением первого уравнения является

зависимость траектории центра масс тележки от времени, решением второго —

ориентация во времени вектора [pic].

Полученная система не имеет аналитического решения и поэтому должна

решаться численно при любой зависимости от времени угла поворота [pic] и

четырёх начальных условиях типа:

[pic], (6.20)

которые показывают, что в нулевой момент времени центр масс тележки

находится в начале координат, скорость тележки равна нулю (и поступательная

и вращательная), тележка сориентирована вертикально по оси [pic].

Для более детального учёта свойств транспортной тележки в динамики

выражения векторов реакций трассы должны быть заменены на выражения с

условиями сравнений в соответствии с допущениями, сформулированными в

задании контрольной работы.

-----------------------

Действие на трассу

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

ц

Д

Д — датчики контраста;

ц — центр масс тележки;

[pic] — вектор тяглового усилия двигателя;

[pic] — вектор приведенной силы трения;

[pic] — вектор реакции трассы (опоры) на переднее колесо;

[pic] — центростремительная реакция трассы;

[pic] — упрощенная габаритная определяющая;

[pic] — расстояние между датчиками контраста.

Рисунок 1.1 – Динамическая схема транспортной тележки

[pic]

[pic]

Тележка

[pic] — трёхразрядный управляющий сигнал;

[pic] — двухразрядный выходной сигнал.

Рисунок 1.2 – Структурная схема управления транспортной тележкой

[pic]

Автомат

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

Рисунок 5.1 – Минимизация функции переходов методом карт Карно

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

“Сброс”

Рисунок 5.2 – Цифровая схема управляющего автомата транспортной

тележки