Основы цифровой техники

|0 |0 |1 |1 |0 |

|0 |1 |0 |1 |0 |

|0 |1 |1 |1 |0 |

|1 |0 |0 |1 |0 |

|1 |0 |1 |0 |1 |

|1 |1 |0 |1 |0 |

|1 |1 |1 |0 |1 |

Рис. 6. Таблица истинности функции [pic]

Поскольку столбец у содержит шесть единиц из восьми возможных, то

столбец для [pic] содержит лишь две единицы, что и отражено в таблице (рис.

6).

Для [pic] СДНФ будет значительно проще:

[pic]

Последнее выражение более обозримо, чем для у, и легко минимизируется:

[pic], откуда [pic].

1.7 Преобразование минимальных форм логических функций к виду, реализуемому

ЛЭ заданного функционально полного набора

Любая логическая функция, как было сказано выше, может быть записана в

виде СДНФ или СКНФ. Следовательно, любую функцию n переменных можно

представить с помощью набора трех элементарных функций: инверсии,

дизъюнкции и конъюнкции. Возможны и другие наборы функций, с помощью

которых может быть выражена произвольная функция.

Набор элементарных булевых функций называют функционально полным (ФПН),

если любая функция произвольного числа переменных может быть представлена

суперпозицией функций этого набора.

Набор логических функций инверсия (НЕ), дизъюнкция (ИЛИ) и конъюнкция

(И) получил наименование основного (ОФПН).

Среди других наборов функций, образующих ФПН, особый интерес

представляют так называемые монофункциональные наборы, содержащие всего

одну булеву функцию. Таковыми, в частности, являются набор, состоящий

только из функции «штрих Шеффера» (И-НЕ) и набор, состоящий только из

функции «стрелка Пирса» (ИЛИ-НЕ).

1.8 Минимальные формы в монофункциональных базисах

Основой для получения минимальных форм логических функций в базисах

функций штрих Шеффера и стрелка Пирса может служить МДНФ, полученная в

результате решения задачи минимизации.

МДНФ представляет собой дизъюнкцию простых импликант и может быть

представлена в обобщенном виде:

[pic] (1)

где Ji – символ импликант, а d - их количество.

Формулы функций штрих Шеффера и стрелка Пирса для случая r переменных

имеют вид:

[pic] (2)

[pic][pic] (3)

Для перехода от МДНФ к минимальной форме в базисе функции штрих Шеффера

конъюнкции и дизъюнкции в выражении (1) должны быть заменены функциями вида

(2). Это достигается двукратным инвертированием (1) и применением теоремы

де Моргана-Шеннона. Первое инвертирование (1) с учетом указанной теоремы

приводит к соотношению:

[pic] (4)

Второе инвертирование с учетом закона двойного отрицания дает:

[pic] (5)

Каждый из членов [pic] соотношения (5) и все это соотношение в целом

представляет собой функции штрих Шеффера.

Следовательно, (5) выражает переход от МДНФ к искомой форме формулы в

базисе функций штрих Шеффера. Формулу (5) называют оптимальной

конъюнктивной инверсной формой логической функции или оптимальным инверсным

произведением.

Переход от МДНФ к минимальной форме в базисе функций стрелка Пирса

осуществляется заменой импликант в (1) функциями вида (3). Обозначим

преобразованную в соответствии с теоремой де Моргана-Шеннона инверсию

импликанты [pic] символом Gi. Тогда (4) можно переписать в виде:

[pic] (6)

Трехкратное инвертирование (6) приводит к искомой форме формулы в

базисе функций стрелка Пирса

[pic] (7)

Каждый член дизъюнкции в (7) и инверсия всей дизъюнкции представляет

собой функции стрелка Пирса; заключительное инвертирование также может быть

выполнено элементами стрелка Пирса (ИЛИ - НЕ). Формулу (7) называют

оптимальной дизъюнктивной инверсной формой логической функции или

оптимальной инверсной суммой.

Пример. 6. Представить логическую функцию «равнозначность двух

переменных» в базисе функций штрих Шеффера и стрелка Пирса.

Решение. СДНФ функции равнозначность двух переменных (приведена выше)

имеет вид:

[pic] (8)

Первое инвертирование (8) с учетом теоремы де Моргана приводит к

выражению:

[pic].

Второе инвертирование с учетом закона двойного отрицания приводит к

искомой форме в базисе функций штрих Шеффера:

[pic] (8.1)

Четырехкратное инвертирование (8.1) дает искомую форму в базисе функций

стрелка Пирса:

[pic]

[pic]

[pic]

[pic] (8.2)

1.9 Проектирование схемы КЦУ в заданном базисе ЛЭ

Каждая из элементарных логических функций, образующих ОФПН, может быть

воспроизведена (реализована) соответствующими ЛЭ: инверторами (НЕ),

дизъюнкторами (ИЛИ) и конъюнкторами (И), образующими ОФПН ЛЭ.

Аналогичным образом могут быть реализованы функции монофункциональных

наборов: функции штрих Шеффера – с помощью ЛЭ «И-НЕ», функции стрелка Пирса

– с помощью ЛЭ «ИЛИ -НЕ», образующих монофункциональные наборы ЛЭ.

Основой для проектирования КЦУ в ОФПН ЛЭ служит минимальная форма

логической функции – МДНФ или МКНФ. Основой для проектирования КЦУ в

монобазисном наборе ЛЭ служит оптимальное инверсное произведение или

оптимальная инверсная сумма.

Пример 7. Спроектировать схему КЦУ равнозначности двух переменных а) в

ОФПН ЛЭ, б) в монофункциональном наборе ЛЭ «И -НЕ», в) в монофункциональном

наборе ЛЭ «ИЛИ -НЕ».

Решение. Основой для проектирования являются выражения (8), (8.1) и

(8.2) соответственно. Схемы КЦУ, реализующие функцию “равнозначность двух

переменных”, приведены на рис.7.

1.10 Проектирование многовыходных КЦУ

На практике часто встречается необходимость проектирования КЦУ, имеющих

несколько (m) выходов. В этих случаях для синтеза схемы устройства можно

воспользоваться рассмотренной выше последовательностью действий, если

представить устройство в виде совокупности соответствующего числа (m) КЦУ,

имеющих общие входы. Другими словами, проектирование многовыходного КЦУ

сводится к синтезу m одновыходных схем КЦУ, имеющих общие входы х1, х2, …,

хn, выходы которых в совокупности образуют выходы устройства: у1, у2, …,

уm.

Пример 8. Спроектировать схему КЦУ, вычисляющего значения функции

у=х2+3, если х может принимать целые значения в диапазоне от 0 до 3.

Решение. Представим функцию, подлежащую реализации в виде таблицы

(рис.8.)

В проектируемом устройстве как аргумент х, так и функция у должны быть

представлены в виде двоичных кодов. Перевод х и у в двоичные коды

осуществляется по известным правилам преобразования десятичных чисел в

двоичные коды. Число разрядов n и m, необходимых для представления х и у в

двоичном коде, определяется согласно соотношениям:

n ? log2(xmax+1), m ? log2(ymax+1). (9)

Из (9) находим число двоичных разрядов, необходимых для представления

аргумента х и функции у в виде ближайших больших целых чисел:

n ? log2(3+1)=2, m ? log2(12+1)=4.

Таким образом, проектируемое устройство должно иметь два входа, на

которые поступают двоичные разряды аргумента х1 и х2 и четыре выхода, на

которых формируются двоичные разряды функции у1, у2, у3, у4 (рис.9, а). Для

получения уравнений связи выходных переменных (реакций) с входными

переменными (воздействиями) изобразим таблицу истинности (функционирования)

устройства (рис. 9, б).

|х2|х1|у4|у3|у2|у1|

|21|20|23|22|21|20|

|0 |0 |0 |0 |1 |1 |

|0 |1 |0 |1 |0 |0 |

|1 |0 |0 |1 |1 |1 |

|1 |1 |1 |1 |0 |0 |

а) б)

Рис. 9. Условное графическое изображение (а)

и таблица функционирования (б) проектируемого устройства

Из таблицы функционирования для каждого выхода уi (i=1, 2, 3, 4)

получим уравнения связи в виде СДНФ:

[pic],

[pic],

[pic].

Упростим (минимизируем) полученные выражения (выражение для у4 не

упрощается):

[pic],

[pic], (10)

[pic].

По полученным МДНФ (10) синтезируем схему устройства, используя ОФПН ЛЭ

(рис. 10).

Рис. 10. Схема КЦУ, вычисляющего значения функции у=х2+3,

(область определения х: 0, 1, 2, 3)

2. Задание на лабораторную работу

2.1. Для каждого КЦУ, предусмотренного заданием (см. табл. 1):

2.1.1. Составить таблицу истинности;

2.1.2. Составить логические выражения функций, реализуемых КЦУ,

представленные в СДНФ и СКНФ. Доказать тождественность этих форм.

2.1.3. Минимизировать при возможности полученные выражения, т.е. получить

выражения для МДНФ используя: а) метод непосредственных преобразований; б)

карт Карно.

2.1.4. Преобразовать полученные в п. 2.1.3. МДНФ к виду, реализуемому в

монофункциональном базисе ЛЭ «И-НЕ».

2.1.5. Составить схему КЦУ, используя: а) ЛЭ ОФПН; б) монофункционального

набора ЛЭ «И- НЕ».

2.1.6. Собрать схемы КЦУ на стенде и проверить правильность их

функционирования.

Примечание: пункты 2.1.1 – 2.1.5 задания должны быть выполнены дома.

Таблица 1

|Функция, |№ бригады |

|реализуемая КЦУ | |

| |1 |2 |3 |4 |5 |

|Неравнозначность двух переменных |+ | | | | |

|Голосования (мажоритарного | |+ | | | |

|контроля) «2 из 3» | | | | | |

|Равнозначности трех переменных | | |+ | | |

|Четности числа «1» в трехразрядном| | | |+ | |

|двоичном слове | | | | | |

|Нечетности числа «1» в | | | | |+ |

|трехразрядном двоичном слове | | | | | |

|Вычисление значений функции | | | | | |

|у=[pic], (х принимает целые | | | | | |

|значения в диапазоне от 0 до 4), A|+ |+ |+ |+ |+ |

|- № бригады. | | | | | |

3. Содержание отчета

Для каждого спроектированного и исследованного в соответствии с

заданием КЦУ должны быть приведены:

3.1. Таблица истинности и логические выражения функции, реализуемых КЦУ,

представленные в СДНФ и СКНФ.

3.2. Карты Карно, отражающие ход минимизации логических функций.

3.3. Преобразования, иллюстрирующие переход от МДНФ к оптимальному

инверсному произведению.

3.4. Схемы КЦУ, реализованные в ОФПН ЛЭ и монофункциональном наборе ЛЭ «И-

НЕ».

4. Контрольные вопросы

1. Основные постулаты (аксиомы) и законы алгебры логики.

2. Понятия минтермов и макстермов. Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные

формы представления функций.

3. Понятия смежных минтермов, операции их склеивания, импликант.

4. Минимизация логических функций с помощью карт Карно.

5. Понятие функционального полного набора (ФПН). Примеры ФПН.

6. Последовательность (алгоритм) приведения МДНФ к виду, реализуемому в

монофункциональном наборе ЛЭ,

7. Реализовать в монофункциональном наборе ЛЭ «И-НЕ» логические функции:

инверсия, дизъюнкция трех переменных, конъюнкция трех переменных.

8. Реализовать в монофункциональном наборе ЛЭ «ИЛИ -НЕ» логические функции:

инверсия, дизъюнкция трех переменных, конъюнкция трех переменных.

9. Оцените аппаратурные затраты (количество ИС), потребные для реализации

КЦУ «равнозначность двух переменных» а) в ОФПН ЛЭ, б) в

монофункциональных наборах ЛЭ. Какое схемотехническое решение является

предпочтительным?

10. В чем суть операции доопределения логической функции?

11. Сколько входов и выходов должно иметь цифровое устройство, вычисляющее

значение функции y= 0.5·x+4, если х может принимать целые значения в

диапазоне от 0 до 10?

12. Какого типа ЛЭ необходимы для построения схемы, реализующей логическую

функцию y= x1·x2+x1·x3+x2·x3? Укажите потребное количество ЛЭ и ИС.

Лабораторная работа 3

Проектирование и исследование дешифраторов

Цель работы: изучение принципов проектирования дешифраторов в заданном

базисе логических элементов, а также исследование функционирования

спроектированных дешифраторов и интегральных схем дешифраторов.

1. Теоретические основы лабораторной работы

Дешифратором (декодером) называется цифровое устройство комбинационного

типа, осуществляющее преобразование n-разрядного двоичного кода в m-

разрядный унитарный код.

Унитарный код (код «1 из m») может быть прямым (одна «1» в некотором

разряде m-разрядного двоичного кода и m-1 нулей) или обратным (один «0» и m-

1 единиц).

Примеры записи унитарного кода для m=8:

прямого – 0001 0000, 0100 0000, ...

обратного – 1101 1111, 0111 1111, ...

Схема дешифратора имеет n входов, на которые поступают соответствующие

разряды двоичного кода хn, xn-1, …, x2, x1 и m выходов, на которых

формируются разряды унитарного кода уm-1, ..., у1, у0. При этом дешифратор

реализует m функций вида:

[pic] (1)

Функции (1) соответствуют преобразованию двоичного кода в прямой

унитарный код и могут быть записаны в виде:

[pic]

[pic] (2)

[pic]

[pic]

[pic]

Такой системе уравнений соответствует таблица истинности (табл.1).

Изложенное выше соответствует полному дешифратору, т.е. дешифратору, для

которого m=2n. На практике часто встречаются неполные дешифраторы, для

которых m(2n, следовательно, реализующие лишь некоторые из функций (2). Из

(2) и таблицы истинности следует, что каждой комбинации входных сигналов

соответствует активное значение «1» (при преобразовании в прямой унитарный

код) только одного определенного выходного сигнала, и неактивные значения

«0» остальных m-1 выходных сигналов. Причем номер избранного выхода равен

двоичному коду, поданному на входы. Например, если на дешифратор подана

входная комбинация, соответствующая первой строке таблицы истинности (табл.

1), т.е. двоичный код нуля, то избранным будет выход с номером 0 (у0); если

входная комбинация имеет вид, соответствующий второй строке таблицы

истинности, т.е. двоичный код единицы - избранным будет выход с номером 1

(у1) и т.д.

Дешифраторы входят в состав практически всех серий цифровых ИС и

отличаются:

- числом выходов (полные и неполные дешифраторы);

- видом преобразования - в прямой (прямые выходы) или обратный

(инверсные выходы) унитарный код;

- наличием или отсутствием стробирующего (управляющего) входа. Сигнал

на этом входе разрешает или запрещает выполнение микросхемой

операции дешифрирования;

- быстродействием, которое характеризуется средним временем задержки

распространения сигнала от входа до выхода tзд.р.ср;

- энергопотреблением; т.е. мощностью, потребляемой от источника

питания.

Например, ИС сдвоенного дешифратора К 530 ИД-14 (рис.1, а) (в одном корпусе

два автономных дешифратора «2-4», выходы инверсные) имеет по одному

стробирующему входу [pic] и [pic] в каждом дешифраторе.

При объединении (каскадировании) информационных и стробирующих входов,

как это показано на рис.1, б, получают дешифратор 3-х разрядного двоичного

кода. Входные сигналы дешифрируются первым дешифратором (при V1=0 и V2=1,

т.е. при х3=0, или вторым (при V1=1 и V2=0, т.е. при х3=1) дешифратором.

К 530 ИД 14

[pic]

Рис.1. Дешифратор К 530 ИД 14 (а) и способ соединения двух дешифраторов для

увеличения разрядности (наращивания числа входов-выходов) (б)

1.1 Линейные дешифраторы

Схема дешифратора может быть построена в соответствии с уравнениями (2)

и представляет собой m конъюнкторов (ЛЭ «И») с n входами, каждый из которых

реализует одну из функций fj(xn, ..., x1). Такие дешифраторы называются

линейными (или матричными). Схема линейного дешифратора, имеющего n=3 входа

и m=2n =8 выходов и условное графическое изображение такого дешифратора

приведено на рис. 2.

[pic]

Рис.2. Схема (а) линейного дешифратора «3 в 8»

и его условное графического изображение (б)

Таблица истинности линейного дешифратора «3 в 8» представлена в табл.2.

Таблица 2

[pic]

В таблице над обозначением разрядов входного кода проставлены

соответствующие им весовые коэффициенты; всем не обозначенным в таблице

значениям уj соответствуют неактивные уровни сигналов - «0».

К достоинствам линейных дешифраторов относится их высокое

быстродействие. Для схемы (рис. 2) время дешифрации (tд) равно среднему

времени задержки распространения одного ЛЭ «3И», т.е. tд = tзд.р.ср..

В то же время для логических элементов, используемых в схемах линейных

дешифраторов, характерно значительное число требуемых входов (коэффициент

объединения по входу Коб) логического элемента, равное разрядности

дешифрируемого числа - n. В составе ИС, выпускаемых промышленностью, обычно

отсутствуют логические элементы с коэффициентом объединения более восьми и

этим значением ограничена разрядность входных чисел линейного дешифратора,

если не применяются дополнительные расширители по входу.

При построении схем линейных дешифраторов существенным ограничением,

кроме того, является высокая требуемая нагрузочная способность (коэффициент

разветвления по выходу Краз.) ЛЭ входного регистра, с которых значения

разрядов числа подаются на входы дешифратора. Для любого линейного

дешифратора требуемая нагрузочная способность ЛЭ входного регистра равна

половине общего числа логических элементов дешифратора: Краз=0,5(2n. Так

как коэффициент разветвления базовых ЛЭ не превышает Краз=10(20, то для

линейных дешифраторов без принятия специальных мер максимальная разрядность

дешифруемых чисел n = 4(5.

1.2 Пирамидальные дешифраторы

Усовершенствование структуры дешифраторов позволяет исключить

отмеченные ограничения и сводится оно к формированию частичных конъюнкций,

используемых в дальнейшем для получения требуемых выходных функций.

Пирамидальная структура - один из видов структур дешифратора, реализующих

такой принцип построения. Последний основан на том, что добавление одного

разряда входной переменной увеличивает число конъюнкций вдвое за счет

умножения исходной конъюнкции на дополнительную переменную в прямой и

инверсной форме. Поясним сказанное следующим примером. Пусть имеется

конъюнкция двух переменных х2 · х1. При введении добавочного разряда х3 эта

конъюнкция образует две новых: х3х2х1 и [pic]х2х1, для получения которых

потребуется два двухвходовых ЛЭ «И». Последовательно наращивая структуру,

можно построить пирамидальный дешифратор на произвольное число входов.

На рис. 3 приведена схема пирамидального дешифратора трехразрядного

числа. Пирамидальный дешифратор четырехразрядного числа можно получить

добавлением в схему (рис. 3) третьего каскада, содержащего 24=16

конъюнкторов и образующего четырехбуквенные конъюнкции.

Пирамидальные дешифраторы отличаются от линейных использованием только

двухвходовых конъюнкторов вне зависимости от разрядности дешифрируемого

числа, а коэффициент разветвления ЛЭ входного регистра и всех логических

элементов дешифратора также равен двум. Таким образом, пирамидальные

дешифраторы свободны от ограничений, свойственных линейным дешифраторам, но

в них используется большее количество ЛЭ, определяемое как N=4((2n-1-1).

При проектировании цифровых устройств на ИС первостепенную роль играет не

количество ЛЭ в устройстве, а количество требуемых корпусов ИС. В то же

время количество ЛЭ, располагаемых в одном корпусе ИС, определяется главным

образом требуемым количеством выводов. Следовательно, в одном корпусе ИС

можно расположить большее число двухвходовых конъюнкторов, чем

трехвходовых, и пирамидальная структура дешифратора, оцениваемая по

требуемому числу корпусов ИС, может оказаться эквивалентной или более

предпочтительной, чем линейная.

1.3 Особенности проектирования неполных дешифраторов

При проектировании дешифраторов, для которых m(2n (т.е. неполных

дешифраторов) некоторые выходные функции уj не реализуются и,

следовательно, соответствующие им входные комбинации (хn, ..., х1) являются

избыточными (запрещенными). Последнее позволяет путем доопределения

минимизировать некоторые функции из числа реализуемых дешифратором и, как

следствие этого - упростить схему дешифратора.

Поясним отмеченное следующим примером. Положим, необходимо

спроектировать дешифратор с 6-ю выходами, т. е. имеющего только выходы у0-

Страницы: 1, 2, 3, 4