Расчет тарифных ставок в страховании

| |66 |9626 |6 |37182 |70153 |77 |253 | |198 |98406 |

|65 |579|0,0402|233|213,81|1522,5|7,89913|88,09|1620,5334 |1424,539|7,1209|

| |10 |69384 |2 |15682 |36434 |77 |308 | |466 |26372 |

|66 |555|0,0430|239|188,25|1308,7|7,44269|80,19|1395,0099 |1222,439|6,9517|

| |78 |92591 |5 |82643 |24866 |39 |394 | |828 |52535 |

|67 |531|0,0461|245|165,27|1120,4|6,99921|72,75|1196,216 |1044,717|6,7795|

| |83 |61367 |5 |13101 |66602 |99 |124 | |251 |59024 |

|68 |507|0,0494|250|144,62|955,19|6,56254|65,75|1021,4821 |888,9084|6,6045|

| |28 |59864 |9 |58353 |52918 |51 |203 | |507 |96544 |

|69 |482|0,0530|255|126,12|810,56|6,13586|59,18|868,37524 |752,7636|6,4268|

| |19 |28889 |7 |17074 |94566 |61 |948 | |74 |82994 |

|70 |456|0,0568|259|109,57|684,44|5,71949|53,05|734,66831 |634,2271|6,2465|

| |62 |96325 |8 |21224 |77491 |64 |361 | |93 |50074 |

|71 |430|0,0610|263|94,805|574,87|5,31187|47,33|618,3281 |531,4231|6,0637|

| |64 |71893 |0 |38649 |56268 |56 |412 | |58 |44351 |

|72 |404|0,0655|265|81,665|480,07|4,91219|42,02|517,50028 |442,6401|5,8784|

| |34 |63635 |1 |54318 |02403 |25 |224 | |997 |91976 |

|73 |377|0,0704|266|70,010|398,40|4,52359|37,11|430,49276 |366,3166|5,6906|

| |83 |285 |1 |32418 |46971 |82 |005 | |318 |56368 |

|74 |351|0,0756|265|59,706|328,39|4,14385|32,58|355,75965 |301,0290|5,5001|

| |22 |50589 |7 |05696 |43729 |17 |645 | |968 |85235 |

|75 |324|0,0812|263|50,632|268,68|3,77451|28,44|291,89481 |245,4818|5,3066|

| |65 |56738 |8 |34731 |8316 |32 |26 | |234 |5336 |

|76 |298|0,0873|260|42,677|218,05|3,42085|24,66|237,61634 |198,4955|5,1094|

| |27 |70503 |6 |18158 |59687 |03 |809 | |938 |27581 |

|77 |272|0,0938|255|35,732|175,37|3,07818|21,24|191,7562 |159,0013|4,9080|

| |21 |98093 |6 |52729 |87871 | |724 | |787 |99156 |

|78 |246|0,1009|249|29,703|139,64|2,75109|18,16|153,26057 |126,0319|4,7012|

| |65 |52767 |0 |95515 |62598 |77 |906 | |47 |68201 |

|79 |221|0,1085|240|24,500|109,94|2,43981|15,41|121,17158 |98,71302|4,4873|

| |75 |4566 |7 |23732 |23046 |14 |796 | |919 |97537 |

|80 |197|0,1166|230|20,037|85,442|2,14443|12,97|94,625908 |76,25822|4,2641|

| |68 |53177 |6 |47055 |06731 |54 |815 | |663 |14429 |

|81 |174|0,1254|219|16,238|65,404|1,86840|10,83|72,847272 |57,96192|4,0277|

| |62 |15187 |0 |5651 |59675 |61 |371 | |108 |32522 |

|82 |152|0,1348|205|13,029|49,166|1,61159|8,965|55,137822 |43,19424|3,7734|

| |72 |21896 |9 |36001 |03165 |91 |305 | |165 |80171 |

|83 |132|0,1448|191|10,341|36,136|1,37440|7,353|40,876728 |31,39661|3,4941|

| |13 |57337 |4 |94219 |67164 |94 |706 | |48 |86195 |

|84 |112|0,1556|175|8,1136|25,794|1,15881|5,979|29,513468 |22,07599|3,1791|

| |99 |77494 |9 |10993 |72944 |34 |297 | |107 |92282 |

|85 |954|0,1671|159|6,2848|17,681|0,96395|4,820|20,561682 |14,80055|2,8132|

| |0 |80294 |4,9|66394 |11845 |03 |483 | |469 |84697 |

|86 |794|0,2390|189|4,8019|11,396|1,05314|3,856|13,597161 |9,195343|2,3732|

| |5,1|53001 |9,3|82189 |25206 |52 |533 | |554 |39135 |

|87 |604|0,3416|206|3,3523|6,5942|1,05068|2,803|8,1307604 |5,057779|1,9670|

| |5,8|25591 |5,4|43059 |69868 |46 |388 | |3 |62962 |

|88 |398|0,4880|194|2,0248|3,2419|0,90666|1,752|4,1699874 |2,313866|1,6010|

| |0,4|66526 |2,7|59522 |26809 |62 |703 | |194 |62579 |

|89 |203|0,6950|141|0,9510|1,2170|0,60641|0,846|1,6529437 |0,781190|1,2797|

| |7,7|48339 |6,3|03092 |67286 |57 |037 | |87 |72166 |

|90 |621|0,9816|610|0,2660|0,2660|0,23962|0,239|0,3880103 |0,144118|1 |

| |,4 |70422 |,01|64195 |64195 |14 |621 | |106 | |

|Форм| |[pic] | |lx*(1+|[pic] |dx*(1+i|[pic]|[pic] |[pic] |[pic] |

|ула | | | |i)-x | |)-x+1 | | | | |

Таблица смертности – числовая модель процесса вымирания по возрастам

некоторой абстрактной совокупности людей.

Прежде чем начать непосредственное описание методов расчета страховых

аннуитетов и нетто-тарифов, необходимо сформулировать обще принципы

определения нетто-премий в личном страховании.

В страховании жизни, как и в любом из видов страхования должно

соблюдаться условие превышения страховых премий над страховыми выплатами

(Е(Р)+I>=E(S)), где I – доход от инвестиций временно свободных средств.

Величина страховых выплат является случайной величиной, и нельзя заранее

предсказать точную сумму страховых выплат. За счет большого числа

застрахованных, статистические данные однородны и обладают должной степенью

надежности. Поэтому, вероятность отклонения реальных величин от их

математического ожидания ничтожно мала. Вследствие этого, в актуарных

расчетах принято использовать вероятную (ожидаемую) стоимость выплат. Тоже

происходит и суммами нетто-премий. Их величина зависит от случайной

величины S, а, следовательно, является величиной случайной.

К моменту осуществления выплат страховщик должен обладать фондом,

равным вероятной стоимости выплат. Он определяет для себя будущую стоимость

выплат и размер требуемого страхового фонда. Так как страховщик инвестирует

свободные средства, то они ему приносят доход, который изменяется в

зависимости от нормы доходности r, темпа инфляции (h), и ставки налогов

(g). Тогда дисконтирование происходит по скорректированной ставке i=r(1-

g)+h/100. Страховая премия выплачивается в момент заключения договора, то

есть в современный момент времени, а страховые выплаты спустя определенное

время. Поэтому, для их сравнения необходимо дисконтировать страховые

выплаты, приводя их стоимость к сегодняшнему дню.

В страховании жизни нетто-премии иногда уплачиваются не одной суммой,

а серией платежей, в различные периоды времени (в рассрочку). Для их учета

страховщику приходится как нетто-премии, так и страховые выплаты приводить

к одному моменту времени, иначе, при незапланированном прекращении

договора, страховщик недополучит часть причитающихся ему премий.

Вышесказанное можно представить в виде неравенств, которые показывают

основные принципы расчета тарифных ставок:

1. E+I>S – Нетто-премия с учетом дохода, от инвестиций должна превышать

страховую выплату.

Если данное равенство не будет соблюдаться, то страховщик обанкротится.

2. E+I>Sp – Сумма выплат – величина случайная, так как неизвестно по каким

договорам приходится возмещать ущерб. Поэтому в актуарных расчетах

применяют ее наиболее вероятное значение (Sp).

3. E>Sp-I – Современная вероятная стоимость выплат (разница между суммой

выплат и накопленных доходов) не должна превышать стоимость

единовременной нетто-премии.

4. Ep-IE>Sp-I – Сравнение вероятной стоимости выплат происходит не с

реальными суммами нетто-премий, а с их наиболее вероятным значением

(математическим ожиданием). Современная вероятная стоимость нетто-премий,

уплаченных в рассрочку, должна быть меньше, чем современная стоимость

выплат.

Получается, что нетто-премии – доходы страховой компании, а страховые

выплаты – ее расходы, причем и те и другие носят случайный характер. Так

как в страховании жизни затронуты значительные периоды времени, в рамках

которых изменяется стоимость денег пропорционально ставке i, то расчетные

данные необходимо приводить к одному моменту времени.

Принцип финансовой эквивалентности (P=Sq) в страховании жизни

несколько видоизменен. Пусть P – размер премии, qn – вероятность страхового

события (смерть застрахованного через n лет после начала страхования). Если

страховое событие произойдет на первом году страхования, то страховщик

получит сумму Р, если на втором году – 2Р, и т.д. Математическое ожидание

такого ряда премий составит: Pq1+2Pq2+3Pq3+…+nPqn. Однако, премия

выплачивается в разные моменты времени. С учетом этого фактора данную

величину необходимо привести к одному моменту времени (к начальному):

E(P)=P(q1+(1+v)q2+(1+v+v2)q3+…+(1+v+…+vn-1)qn), где v=(1+i)-1-дисконтный

множитель. Е(Р) – дисконтированное математическое ожидание страховых

премий.

Теперь рассмотрим совокупность страховых выплат. Допустим, они

выплачиваются в конце года, в котором имел место страховой случай. Тогда

математическое ожидание выплаты в первом году составит Sq1, во втором году

- Sq2, и т.д. С учетом фактора времени математическое ожидание страховых

выплат выглядит так: E(S)=S(vq1+v2q2+…+vnqn)/

Как известно, E(S)=E(Р). Подставляя известные значения в данное

равенство можно определить размер нетто-премии.

Зная основные принциы формирования нетто-премии в страховании жизни

можно перейти к рассмотрению методов ее расчета. Итак, основной показатель

таблицы смертности – число людей lx в возрасте х лет, оставшихся в живых из

первоначальной совокупности l0 (обычно равной 100000 человек). Величины lx

(кроме l0) определяют расчетным путем на основе заданных вероятностей

смерти (qx) в возрасте х лет, или на основе количества умерших (dx).

Указанные вероятности получают на основе данных статистики населения с

последующим усреднением и сглаживанием.

Показатели таблицы смертности связаны следующими соотношениями:

- lx+1=lx-dx;

- dx=lx*qx;

- qx=1-px=1-lx+1/lx=dx/lx .

Для определения страховых тарифов необходимо знать страховые

вероятности в страховании жизни и действия над ними:

1. npx=lx+n/lx – вероятность прожить n лет лицо, дожившим до возраста х

лет.

2. px=1-qx=1-dx/lx=lx+1/lx – вероятность человеком, дожившим до х лет,

прожить еще 1год.

3. nqx=1-npx=(lx-lx+n)/lx – вероятность умереть в интервале возрастов от x

лет до n лет.

4. mqx=mpx*qx+m=(lx+m/lx)*(dx+m/lx+m)=dx+m/lx - вероятность дожить до

возраста х лет и умереть в возрасте x+m лет в течении 1 года.

5. m/nqx=mpx*nqx+m=(lx+m/lx)*(lx+m-lx+m+n)/lx+m=(lx+m-lx+m+n)/ lx –

вероятность дожить до x+m лет и умереть в возрасте от x+m лет до x+m+n

лет.

Для упрощения расчетов и сокращения записи формул в таблицах

смертности используются коммутационные функции. Их смысл сложно

интерпретировать, поэтому они должны восприниматься как чисто технические

вспомогательные средства. Их можно разделить на две группы. В основу первых

положены числа доживающих до определенного возраста, вторых – числа

умерших.

1. Dx=lx*vx

2. [pic], где w-предельный возраст, учитываемый в таблице смертности.

- Nx=Nx+1+Dx; Nw=Dw

- [pic](Nx+1-Nx+2)+(Nx+2-Nx+3)+…+Nx+k-Nx+k+1=Nx+1-Nx+k+1

3. Cx=dx*vx+1; Cx=dx*vx+1=(lx-lx+1)*vx+1=lx*vx*v-lx+1*vx+1=Dx*v-Dx+1

4. [pic]; [pic]

Страхование на дожитие.

Страхователь и страховщик договариваются между собой о том, что второй

выплатит первому страховую сумму S, если он доживет до возраста n. В обмен

на данные условия страхователь предлагает заплатить страховщику нетто-

премию, которая равна произведению страхового тарифа и размера выплаты

(nEx*S). Нетто-премия может уплачиваться единовременно, а может в

рассрочку, что ведет к различной методике расчета:

1. Нетто-премия уплачивается единовременно. В этом случае страхователь

обязательно ее заплатит, иначе договор не будет заключен. Страховая

выплата зависит от того, доживет ли страхуемый до n лет или нет. Поэтому,

при ее расчете применяется математическое ожидание от суммы выплаты

(S*npx). Страховая выплата произойдет только через n лет после заключения

договора, поэтому ее необходимо привести к моменту уплаты нетто-премии

(S*npx*vn). Используя принцип финансовой эквивалентности (обязательства

должны быть равны), получается:

- nEx*S = S*npx*vn

- nEx= npx*vn= (lx+n/lx)* vn

- nEx= (lx+n*vx+n/lx*vx+n)* vn=Dx+n/Dx

2. Нетто-премия уплачивается в рассрочку. Здесь нетто-премия представляет

собой поток платежей от страхователя страховщику, при этом все платежи

составляющие нетто-премию в данном виде страхования – суммы фактические,

а не вероятные, так как если человек умрет раньше времени, то он не

получит страховую сумму, а у страховщика останется часть нетто-премий,

которые он никому не должен. Пусть, страховые премии уплачиваются в

течении t лет, в начале каждого года. Тогда P1*S – премия уплаченная в

первом году, Р2*S – премия уплаченная во втором году и т.д.

- (P1+P2*v+…+Pt*vt-1)*S = S*npx*vn

- Если платежи одинаковы, то P(1+v+v2+…+vt-1)=npx*vn или [pic]

Страхование жизни.

Этот вид страхования называют также страхованием на случай смерти.

Страховая сумма, равная S, выплачивается в случае смерти застрахованного.

Страховой договор заключается страхователем в x лет на срок n лет. Здесь

также следует рассмотреть два случая:

1. Нетто-премия уплачивается единовременно. Тогда обязательства

страхователя равны произведению страхового тарифа и страховой суммы

(S*nAx). Нетто-премия – основное условие заключение договора, поэтому ее

величина для страховщика реальная, а не вероятная. Если выплаты

страховых сумм происходят в конце года, и страхователь умрет в 1-ый год,

то страховая сумма будет равна S*qx*v (qx – вероятность умереть в

возрасте х лет); если во второй год, то страховщик должен будет

заплатить S*2qx*v2=S*v2*dx+1/lx;

- если умрет в третий год – страховая выплата = S*v3*dx+2/lx и так далее.

- В силу финансовой эквивалентности:

S*nAx=S*dx/lx*v+ S*dx+1/lx*v2+S*dx+2/lx*v3+…+S*dx+n-1/lx*vn

- Умножим и разделим данное выражение на vx, тогда:

nAx=(dx/Dx)*vx+1+(dx+1/Dx)*vx+2+(dx+2/Dx)*vx+3+…+(dx+n-1/Dx)*vx+n=1/Dx

*(Cx+Cx+1+…+Cx+n-1)

Mx=Cx+Cx+1+…+Cx+n-1+Cx+n+Cx+n+1+…+Cw

Mx+n= Cx+n+Cx+n+1+…+Cw

Mx-Mx+n= Cx+Cx+1+…+Cx+n-1

nAx= 1/Dx *(Mx-Mx+n)

- Если страхование пожизненное, то nAx= Mx/Dx

2. Нетто-премия вносится в рассрочку. Пусть рассрочка осуществляется

посредством равных платежей (P) пренумерандо (в начале года) в течении t

лет. В данном случае нетто-премия представляет собой поток платежей,

ограниченный периодом t. При этом каждый член этого потока, является

случайной величиной, так как при наступлении страхового случая платежи

прекратятся, а страховщик должен будет уплатить всю страховую сумму

страхователю. Наступление каждого последующего платежа не определено,

так как неизвестно наступит ли страховой случай. Страховщик должен

учитывать, что если он произойдет, то он потеряет не только страховую

сумму, но и премии.

- Исходя из принципа финансовой эквивалентности можно записать следующие

выражение: S*(P+P*px*v+P*2px*v2+P*3px*v3+…+P*t-1pxvt-1) = S*dx/lx*v+

S*dx+1/lx*v2+S*dx+2/lx*v3+…+S*dx+n-1/lx*vn

- P*(1+lx+1/lx*v+lx+2/lx*v2+lx+3/lx*v3+…+lx+t-1/lx*vt-1)= (Mx-Mx+n)/Dx

- P*( 1+lx+1/lx*v+lx+2/lx*v2+lx+3/lx*v3+…+lx+t-1/lx*vt-1)* (vx/vx)= (Mx-

Mx+n)/Dx

- [pic]

- [pic]

Страховые выплаты, а иногда и страховые премии представляют собой

поток платежей, что в финансовой математике называется аннуитетом

(страховой рентой). Стоимость страхового аннуитета, по сути, является

отправным моментом в актуарной математике. Как известно, платежи могут

вносится в начале года – пренумерандо, и в конце года - постнумерандо. В

зависимости от этого различаются и виды аннуитетов. Кроме этого в

страховании ренты делятся в зависимости от интервала времени, в котором

производятся платежи. Аннуитет уже применялся в приведенных выше расчетах.

Далее он будет рассмотрен более подробно, так как широко используется в

пенсионном и других видах страхования, о которых речь пойдет ниже.

Виды страховых аннуитетов.

|Пояснение |Формула |

|Постнумерандо. |

|Аннуитет пожизненный, |[pic] |

|немедленный – лицу, | |

|начиная с возраста х лет | |

|пожизненно в конце года | |

|выплачивается по 1 рублю. | |

|Аннуитет отложенный на n |[pic] |

|лет, пожизненный – | |

|уплачивается пожизненно | |

|лицу в возрасте x+n лет по| |

|одному рублю в конце | |

|каждого года. | |

|Аннуитет немедленный, |[pic] |

|ограниченный – | |

|выплачивается лицу в | |

|возрасте x лет в течение t| |

|лет, по 1 рублю, в конце | |

|каждого года. | |

|Аннуитет отложенный на n |[pic] |

|лет, ограниченный – лицу, | |

|в конце каждого года | |

|выплачивается по 1 рублю, | |

|начиная с возраста n лет, | |

|до возраста t лет. | |

|Пренумерандо. |

|Аннуитет |Вы|[pic] |

|пожизненный, |пл| |

|немедленный |ат| |

| |ы | |

| |пр| |

| |ои| |

| |зв| |

| |од| |

| |ят| |

| |ся| |

| |в | |

| |на| |

| |ча| |

| |ле| |

| |го| |

| |да| |

| |. | |

|Аннуитет | |[pic] |

|отложенный на| | |

|n лет, | | |

|пожизненный | | |

|Аннуитет | |[pic] |

|немедленный, | | |

|ограниченный | | |

|Аннуитет | |[pic] |

|отложенный на| | |

|n лет, | | |

|ограниченный | | |

|Соотношения|[pic] |[pic] |

|Рента уплачиваемая k раз в год. |

|Для ограниченной |[pic] |[pic] |

|ренты | | |

|Для пожизненной |[pic] |[pic] |

|ренты. | | |

Пенсионное страхование.

С экономической точки зрения обеспечение пенсиями по старости на базе

негосударственных пенсионных фондов – это долгосрочный инвестиционный

процесс, на первом этапе которого осуществляются вложения (пенсионные

взносы) и последовательное наращение вложенных сумм за счет инвестиций

свободных денежных средств, на втором – получение отдачи от накоплений в

виде периодических пенсий.

Пенсионное страхование делится на два вида:

1. Нефондируемые – выплата пенсий осуществляется из текущих поступлений. В

этом случае страховые тарифы не рассчитываются.

2. Накопительные – для выплаты пенсий создаются специализированные фонды.

Страницы: 1, 2, 3